Happy Mathematical Pi Day!

Here’s the poster for Pi Day celebration, on March 14, 2012, at Math Fans Club :

Education, Mathematics

March 14, 2012

Leave a comment

Bahas Soal Analisis : Perhitungan Integral melalui teorema Cauchy dan teorema Residu

Pertanyaan : Jika 0 < n < 1 hitunglah \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = ...?

Penyelesaian :

Integral di atas dapat dinyatakan pada kurva lintasan tertutup C seperti pada gambar di samping. Sesuai dengan teorema Cauchy Integral pada C dapat ditulis menjadi

\displaystyle \oint_{C} \frac{z^{n-1}}{1+z}dz

dimana z=0 merupakan titik cabang.  PQ dan UV berimpit dengan sumbu x dengan arah yang berlawanan. Fungsi yang diintegralkan mempunyai kutub z=-1 yang terletak di dalam C.

Residu di z=-1=e^{\pi i} adalah :

\displaystyle \lim_{z \to -1}(z+1)\frac{z^{n-1}}{1+z}=\left ( e^{i\pi} \right )^{n-1}=e^{(n-1)i\pi}

maka

\displaystyle \oint_{C}\frac{z^{n-1}}{1+z} dz = 2\pi ie^{(n-1)i\pi}

atau,

\displaystyle \int_{PQ}+\int_{QRSTU}+\int_{UV}+\int_{VWP}=2\pi ie^{(n-1)i\pi}.

Sehingga kita mempunyai :

\displaystyle \int_{r}^{\rho}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx + \int_{0}^{2\pi}\frac{(\rho e^{i\theta})^{n-1}i\rho e^{i\theta}}{1+\rho e^{i\theta}}d\theta + \int_{\rho}^{r}\frac{(xe^{2\pi i})^{n-1}}{1+xe^{2\pi i}}dx + \int_{2\pi}^{0}\frac{(re^{i\theta})^{n-1}ire^{i\theta}}{1+re^{i\theta}}d\theta

\displaystyle = 2\pi ie^{(n-1)i\pi}

dimana untuk integral sepanjang UV telah digunakan z = xe^{2\pi i}. Untuk r \to 0 dan \rho \to \infty, integral kedua dan keempatnya mendekati nol, sehingga diperoleh :

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx + \int_{\infty}^{0}\frac{e^{2\pi i(n-1)}x^{n-1}}{1+x}dx = 2\pi ie^{\pi i(n-1)}

atau

\displaystyle \left ( 1-e^{2\pi i(n-1)} \right )\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = 2\pi ie^{\pi i(n-1)}

Sehingga,

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = \frac{2\pi ie^{\pi i(n-1)}}{\left ( 1-e^{2\pi i(n-1)} \right )} = \frac{2\pi i}{e^{n\pi i}-e^{-n\pi i}} = \frac{\pi}{\sin n\pi}.

Analysis, Mathematics

, , ,

January 31, 2012

Leave a comment

Fungsi Weierstrass

Teorema D. Fungsi Weierstrass adalah fungsi kontinyu dalam bentuk

\displaystyle W(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a^k\cos (b^k\pi x),

pada 0 < a < 1, ab \geq 1 dan b > 1, dan tidak dapat didiferensialkan di mana pun pada \mathbb{R}.

Bukti :

(1) Kontinuitas : 0 < a < 1 menyebabkan \sum_{k=0}^{\infty} a^k = \frac{1}{1-a} < \infty. (2) Uji M-Weierstrass (pada Teorema B) menyebabkan \sup_{x\in\mathbb{R}}\left |a^n\cos(b^n\pi x)\right | \leq a^n menjadi \sum_{k=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x) konvergen seragam terhadap W(x) pada \mathbb{R}.

Kontinuitas W karena itu merupakan implikasi dari kekonvergenan seragam deret fungsi (pada Teorema A s.d. C); yaitu (Corollary) : Jika f_k : T \to\mathbb{R} adalah fungsi kontinyu untuk setiap k\in\mathbb{N} dan \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x) konvergen seragam terhadap D(x) pada T, maka D adalah fungsi kontinyu pada T.

Dimisalkan untuk sebarang bilangan riil dan bilangan asli, yaitu berturut-turut x_0 \in\mathbb{R} dan m\in\mathbb{N}, dan untuk \alpha_m \in\mathbb{Z} sedemikian sehingga b^mx_0-\alpha_m \in \left ( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] dan x_{m+1}=b^mx_0-\alpha_m.

\displaystyle y_m=\frac{\alpha_m-1}{b^m}~~~ dan \displaystyle ~~~z_m=\frac{\alpha_m+1}{b^m},

keduanya menghasilkan pertidaksamaan :

\displaystyle y_m-x_0=-\frac{1+x_{m+1}}{b^m} < 0 < \frac{1-x_{m+1}}{b^m} = z_m-x_0.

Karena itu y_m < x_0 < z_m. Saat m\to\infty, y_m\to x_0 dari kiri, dan z_m \to x_0 dari kanan.

Selisih pembagi pada bagian kiri,

\begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0} &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a^n\frac{\cos (b^n\pi y_m)-\cos (b^n\pi x_0)}{y_m-x_0} \right ) \\ &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{m-1}\left ( (ab)^n\frac{\cos (b^n\pi y_m)-\cos (b^n\pi x_0)}{b^n(y_m-x_0)} \right ) \\ &~& \displaystyle + \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a^{m+n}\frac{\cos (b^{m+n}\pi y_m)-\cos (b^{m+n}\pi x_0)}{y_m-x_0} \right ) \\ &=& D_1+D_2. \end{array}

Untuk jumlah deret pada D_1, karena \left |\frac{\sin x}{x}\right | \leq 1, identitas trigonometri dapat digunakan untuk menentukan batas-batasnya :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \left |D_1\right | &=& \displaystyle \left | \sum_{n=0}^{m-1}(ab)^n(-\pi)\sin\left (\frac{b^n\pi (y_m+x_0)}{2} \right ) \frac{\sin\left ( \frac{b^n\pi (y_m-x_0)}{2} \right )}{b^n\pi\frac{y_m-x_0}{2}} \right | \\ &\leq & \displaystyle\sum_{n=0}^{m-1} \pi (ab)^n = \frac{\pi((ab)^m - 1)}{ab-1} \leq \frac{\pi (ab)^m}{ab-1}.~~~~~(D.1) \end{array}

Untuk jumlah deret pada D_2, karena b > 1 bilangan bulat ganjil dan \alpha_m \in\mathbb{Z}, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi y_m) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m-1}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi (\alpha_m-1)) \\ &=& \displaystyle \left [(-1)^{b^n}\right ]^{\alpha_m-1} \\ &=& \displaystyle -(-1)^{\alpha_m} \end{array}

dan

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi x_0) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m + x_{m+1}}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi \alpha_m)\cos (b^n\pi x_{m+1}) - \sin (b^n\pi\alpha_m)\sin (b^n\pi x_{m+1}) \\ &=& \displaystyle \left [(-1)^{b^n}\right ]^{\alpha_m} \cos (b^n\pi x_{m+1})-0 \\ &=& \displaystyle (-1)^{\alpha_m} \cos (b^n\pi x_{m+1}), \end{array}

sehingga jumlah deret D_2 dapat ditulis dalam bentuk :

\begin{array}{lcl} \displaystyle D_2 &=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a^{m+n}\frac{-(-1)^{\alpha_m}-(-1)^{\alpha_m}\cos (b^n\pi x_{m+1})}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} \\ &=& \displaystyle (ab)^m(-1)^{\alpha_m}\sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}. \end{array}

Masing-masing bagian pada deret di atas bernilai tidak negatif dan x_{m+1}\in \left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] sehingga untuk batas bawahnya adalah :

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \geq \frac{1+\cos (\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.~~~~~(D.2)

Pertidaksamaan (D.1) dan (D.2) memastikan jaminan adanya \epsilon_1\in \left [ -1,1 \right ] dan \eta_1 > 1 sedemikian sehingga :

\displaystyle \frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0}=(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\eta_1 \left ( \frac{2}{3}+\epsilon_1\frac{\pi}{ab-1}\right ).

Untuk selisih pembagi pada bagian kanan, yaitu z_m-x_0, menggunakan argumen yang sama dengan pada bagian kiri untuk mendifinisikan batas-batasnya. Langkahnya :

\displaystyle \frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0} = D'_1+D'_2.

dan

\displaystyle \left |D'_1\right | \leq \frac{\pi (ab)^m}{ab-1}. ~~~~~(D'.1)

Karena b ganjil dan \alpha_m \in\mathbb{Z} maka suku kosinus yang mengandung z_m dapat disederhanakan menjadi :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi z_m) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m+1}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi (\alpha_m+1)) \\ &=& \left [(-1)^{b^n} \right ]^{\alpha_m+1} \\ &=& \displaystyle -(-1)^{\alpha_m} \end{array}

yang menghasilkan :

\begin{array}{lcl} \displaystyle D'_2 &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^{m+n}\frac{-(-1)^{\alpha_m}-(-1)^{\alpha_m} \cos (b^n \pi x_{m+1})}{\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} \\ &=& \displaystyle -(ab)^m(-1)^{\alpha_m}\sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}. \end{array}

Batas bawah untuk jumlah deret tersebut :

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \geq \frac {1+\cos (\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \geq \frac{1}{1-\left (-\frac{1}{2} \right )} = \frac{2}{3}.~~~~~(D'.2)

Melalui argumen yang sama dengan analisis pada selisih pembagi pada bagian kiri, tetapi dengan menggunakan pertidaksamaan pada (D'.1) dan (D'.2), maka terdapat \epsilon_2 \in \left [-1,1 \right ] dan \eta_2 > 1 sedemikian sehingga :

\displaystyle \frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0}=-(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\eta_2 \left ( \frac{2}{3}+\epsilon_2\frac{\pi}{ab-1}\right ).

Melalui asumsi ab > 1+\frac{3}{2}\pi, yang ekuivalen dengan \frac{\pi}{ab-1}< \frac{2}{3}, nilai selisih pada pembagi bagian kiri dan kanan mempunyai tanda yang berbeda. Juga karena (ab)^m\to\infty saat m\to\infty maka jelaslah bahwa W tidak memiliki derivatif di titik x_0. Karena x_0\in \mathbb{R} dapat dipilih sebarang sehingga W(x) tidak dapat didiferensialkan di mana pun pada \mathbb{R}.

Analysis, Mathematics

, , ,

December 21, 2011

Leave a comment

Deret Fungsi dan Sifat kekonvergenan yang seragam

Definisi. Sebanyak n fungsi D_n(x) pada interval T dikatakan konvergen terhadap fungsi D(x) pada T jika untuk setiap x\in T

\displaystyle\lim_{n \to \infty }D_n(x)=D(x)

yaitu untuk setiap x\in T dan untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap n\geq N maka \left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall x\in T, \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n \geq N, \left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon.

Kekonvergenan dikatakan seragam pada T jika

\displaystyle \lim_{n \to \infty }\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right |=0,

yaitu untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap n \geq N maka \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n \geq N, \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon.

Sifat kekonvergenan yang seragam pada sejumlah n fungsi D_n berperan penting untuk melihat sifat suatu elemen dalam deretan fungsi tersebut apakah ia ditransfer terhadap limitnya atau tidak. Dua teorema berikut dapat digunakan untuk melihat apakah suatu perurutan fungsi D_n konvergen seragam atau tidak.

Teorema A. Sebanyak n fungsi D_n konvergen seragam pada T jika dan hanya jika memenuhi sifat keseragaman deret fungsi Cauchy pada T yaitu :

\displaystyle \lim_{m,n \to \infty }\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |=0

Dengan kata lain, untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap m,n \geq N maka \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall m,n \geq N, \sup_{x\in T} \left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \epsilon.

Bukti :

Jika diasumsikan D_n konvergen seragam terhadap D pada T yaitu :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Dengan \epsilon > 0 dan untuk m,n \in\mathbb{N} dengan m,n \geq N diperoleh :

\begin{array}{lcl}\displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right | & \leq & \displaystyle \sup_{x\in T}(\left | D_n(x)-D(x) \right | + \left | D_n(x)-D_m(x) \right |) \\ & \leq & \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | + \sup_{x\in T} \left | D_n(x)-D_m(x) \right |\\& < & \displaystyle 2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\end{array}

Sebaliknya, jika diasumsikan bahwa \left \{ D_n \right \} ialah sebanyak n fungsi Cauchy yang seragam, yaitu :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall m,n \geq N,\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Deretan fungsi \left \{ D_n(x) \right \} untuk sebarang x\in T merupakan deretan fungsi Cauchy pada bilangan riil, sehingga deretan fungsi tersebut konvergen terhadap fungsi bilangan riil, misalnya D(x). Sehingga diperoleh :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \forall x\in T, \exists m_x > N, \left | D_{m_x}(x)-D(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Jika \epsilon > 0 sebarang dan n > N, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | &\leq & \displaystyle \sup_{x\in T}(\left | D_n(x)-D_{m_x}(x) \right | + \left | D_{m_x}(x)-D(x) \right |) \\ & < & \displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\end{array}

Jadi kekonvergenan D_n terhadap D adalah seragam pada interval T.

Teorema B. Jika f_k : T \to\mathbb{R} adalah perurutan fungsi sedemikian sehingga \sup_{x\in T}\left |f_k(x)\right | \leq M_k untuk setiap k\in\mathbb{N}, dan jika \sum_{k=1}^{\infty} M_k < \infty, maka deret \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) adalah konvergen seragam pada T.

Bukti :

Dimisalkan m,n\in\mathbb{N} dengan n > m. Maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x)\right | &=& \displaystyle \sup_{x\in T}\left | \sum_{k=1}^{n}f_k(x)- \sum_{k=1}^{m}f_k(x)\right |\\ &=& \displaystyle \sup_{x\in T}\left | \sum_{k=m+1}^{n}f_k(x)\right | \leq \sum_{k=m+1}^{n}\sup_{x\in T}\left |f_k(x)\right | \\ &\leq & \displaystyle \sum_{k=m+1}^{n}M_k=\sum_{k=1}^{n}M_k - \sum_{k=1}^{m}M_k.\end{array}

Karena \displaystyle M=\sum_{k=1}^{\infty}M_k < \infty maka :

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}M_k - \sum_{k=1}^{m}M_k \to M-M = 0 ketika m,n \to\infty

sehingga \left \{ D_n \right \} adalah perurutan fungsi Cauchy yang seragam pada T.

Teorema C. Jika \left \{ D_n \right \} adalah perurutan fungsi kontinyu pada T, dan D_n konvergen seragam terhadap D pada T, maka D adalah fungsi kontinyu pada T.

Bukti :

Dimisalkan x_0\in T sebarang. Diperoleh :

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n\geq N, \sup_{x\in T}\left |D_n(x)-D(x)\right | < \frac{\epsilon}{3}

dan

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0 sedemikian sehingga \displaystyle \left |x-x_0\right | < \delta menyebabkan \displaystyle \left |D_n(x)-D_n(x_0)\right | < \frac{\epsilon}{3}.

Untuk \epsilon > 0 telah diketahui, x\in T, n\in\mathbb{N} dengan n > N dan \left |x-x_0\right | < \delta. Maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \left |D(x)-D(x_0)\right | & \leq & \displaystyle \left |D(x)-D_n(x)\right | + \left |D_n(x)-D_n(x_0)\right | + \left |D_n(x_0)-D(x_0)\right | \\ & < & \displaystyle 3\frac{\epsilon}{3} = \epsilon.\end{array}

dan karena itu D kontinyu pada x_0. Karena x_0\in T sebarang, maka D kontinyu pada T.

Analysis, Mathematics

, , ,

December 20, 2011

Leave a comment

2012 Calendar with Math Holidays

i Love Math 2012 Calendar

Info:
Dimensi file: 1600×970 pixel
Ukuran file : 1.27 MB

Education, Mathematics

,

December 10, 2011

Leave a comment

« Older posts
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.