Omar Khayyam (1048-1131) menghabiskan sebagian hidupnya sebagai penulis puisi Rubaiyat (quatrains), di samping bekerja kepada pemerintah (Sultan Malik Syah I) untuk memperbaiki sistem penanggalan kalender Persia. Namun sebagian besar hidupnya dicurahkan sebagai seorang ilmuwan, khususnya matematika dan astronomi. Salah satu bidang matematika yang diminatinya ialah memecahkan persamaan kubik berbentuk :

x^3 + ax^2 + bx + c = 0

Ada 8 kemungkinan persamaan untuk perubahan tanda a, b, dan c, Omar Khayyam mencoba menanganinya satu-persatu. Untuk menemukan solusinya, ia gambarkan dalam pengertian perpotongan dua kerucut, atau menyatakan solusinya sebagai absis dari perpotongan hiperbola dan lingkaran, atau antara dua parabola.

Dalam hal tersebut Omar Khayyam menyatakan dua persamaan :

x^3 + ax^2 + bx + c = 0 dan y = x^2

mempunyai solusi riil r apabila

(x+a)(y+b) = ab - c dan y = x^2.

Jadi r adalah solusi riil dari x^3 + ax^2 + bx + c = 0, jika r adalah absis suatu titik perpotongan hiperbola (x+a)(y+b) = ab - c dengan parabola y = x^2. Hiperbola memiliki asimtot x = -a dan y = -b. Melewati sebuah titik (0, \frac{-c}{a}) , asumsinya a\not=0.

Bukankah ini adalah teorema, yang oleh Omar Khayyam disebut sebagai solusi “trivial”?

Sebagai contoh, persamaan (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0, mempunyai asimtot x = 6 dan y=-11 . Bagian kiri atas hiperbola berpotongan dengan parabola y = x^2 pada titik (1,1), (2, 4), dan (3, 9).

Terlepas dari permasalahan persamaan kubik yang hendak dipecahkannya, Omar Khayyam adalah seorang Muslim yang tunduk patuh pada agama, di bagian pendahuluan bukunya tentang persamaan kubik, Omar Khayyam menulis :

Praise be to God, lord of all worlds, a happy end to those who are pious, and ill-will to none but the merciless. May blessings repose upon the prophets, especially upon prophet Mohammed SAW.

Algebra, Geometry, Mathematics

, , , ,

January 6, 2011

2 Comments