Pada tulisan sebelumnya saya gambarkan sedikit mengenai solusi persamaan kubik : x^3+ax^2+bx+c=0 dalam pengertian perpotongan parabola dan hiperbola. Solusi riil didapatkan pada absis titik potongnya. Sebagai kilas balik langkah penyelesaian persamaan kubik yang didapatkan dari Ferro, Tartaglia dan juga dari hasil buah pikir François Viète, saya tuliskan kembali ringkasan langkah-langkah penyelesaian persamaan kubik yang secara umum dapat ditempuh dalam 3 langkah sebagai berikut.

Langkah 1 :

Hitung : p=\frac{a^2-3b}{9} dan q=\frac{-2a^3+9ab-27c}{54}

Catatan : Jika salah satu hasilnya 0 maka masalah persamaan kubik menjadi trivial.

Langkah 2 :

Hitung : q^2-p^3

Langkah 3 :

a. Jika q^2-p^3>0

Ambil definisi : u_1=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}} dan v_1=\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}

Solusinya adalah :

u_1+v_1-\frac{a}{3}

u_1\omega+v_1\omega^2-\frac{a}{3}

u_1\omega^2+v_1\omega-\frac{a}{3}

dimana \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}.

b. Jika q^2-p^3=0

Solusinya :

2\sqrt[3]{q}-\frac{a}{3}

-\sqrt[3]{q}-\frac{a}{3}

c. Jika q^2-p^3<0

Ambil definisi : r=\sqrt{p^3-q^2} dan \alpha=\arctan(\frac{r}{q}) jika q>0

atau

\alpha=\arctan(\frac{r}{q})+\pi jika q<0.

Persamaan kubik memiliki tiga solusi riil :

2\sqrt{p} \cos\frac{\alpha}{3}-\frac{a}{3}

-\sqrt{p} \cos\frac{\alpha}{3}\pm \sqrt{3p} \sin\frac{\alpha}{3}-\frac{a}{3}.

Algebra, Analysis, Mathematics

, , ,

February 3, 2011

1 Comment