Saya temukan di statistik blog ini kata kunci pencarian tentang bilangan imajiner berkenaan dengan posting terdahulu tentang sejarah dan filosofi bilangan imajiner. Kemunculan bilangan imajiner secara historis tidak bisa dipisahkan dari upaya penanganan persamaan kubik, baik melalui metode geometris (seperti salah satunya terdapat di posting ini), maupun secara aljabar seperti melalui trik persamaan depressed cubic atau formula kubik homogen melalui persamaan Ferro-Tartaglia. Ringkasan penyelesaian persamaan kubik tersebut dalam tiga langkah telah saya tulis pada posting sebelumnya. Pembaca juga mungkin tertarik dengan beberapa fitur dari \omega pada posting tersebut :

\omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2},

bila dikuadratkan menjadi :

\omega^{2} = \frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}.

Lebih jauh didapatkan :

\omega + \omega^{2} = -1, \omega - \omega^{2} = \sqrt{-3}, dan \omega^{3} = 1.

Penggunaan notasi \omega bisa diterapkan tidak hanya pada persamaan kubik homogen yang melibatkan satu atau dua variabel (kubik biner), tapi juga persamaan kubik dengan banyak variabel. Sebagaimana G. H. Hardy dan J. E. Littlewood di tahun 1923 mengemukakan sebuah conjecture mengenai formula aymptotic untuk bilangan prima dalam representasi kubik triple (x^3, y^3, z^3). Sebagai contoh, persamaan kubik triple dapat dinyatakan sebagai berikut :

x^3+2y^3+4z^3-6xyz,

dengan vektor (x,y,z)\in \mathit{C} \subseteq \mathbb{R}^3. Untuk setiap vektor \beta (a,b,c) :

\beta = a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}

dalam grup multiplikatif \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}], berlaku :

\beta' = a + b\omega \sqrt[3]{2} + c\omega^2 \sqrt[3]{4}

Notasi \omega ini cukup baik digunakan untuk melihat hubungan antara bilangan integer tertentu, yaitu misalnya \alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}] dengan \beta, bila \textup{gcd}(\alpha, q)=1, artinya \alpha dan q coprime, dan untuk melihat formula asymptotic bilangan prima untuk \beta \equiv \alpha modulo q dalam grup multiplikatif \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]. Bagian ini dikenal dengan Hecke Grössencharacter dan penggunaannya cukup baik didiskusikan dalam topik penelitian tentang representasi bilangan prima dalam polinomial kubik.

Namun untuk permulaan kita akan mulai dengan sedikit telaah tentang persamaan kubik untuk kasus semua akar kubiknya adalah riil yang, di posting sebelumnya tertulis, bersesuaian dengan kasus pertama. Dalam bentuk yang paling sederhana, dapat kita tulis : bila s adalah suatu bilangan riil dan r adalah akar kubik riil dari s maka persamaan :

x^3-s=(x-r)(x-r\omega)(x-r\omega^2)=0

mempunyai tiga buah penyelesaian, yaitu r, r\omega, dan r\omega^2. Nanti penyelesaian persamaan ini akan kita terapkan untuk penyelesaian bentuk umum persamaan kubik dengan akar kubik riil.

Bentuk umum persamaan kubik satu variabel adalah sebagai berikut :

K = ax^3 + bx^2 + cx^2 + d.

Atau :

K = x^3 + \alpha x^2 + \beta x^2 + \gamma,

untuk \alpha =b/a, \beta = c/a, \gamma = d/a.

Tartaglia menemukan trik dengan mensubstitusikan : x = y - \alpha /3, untuk mendapatkan persamaan kubik depresi :

KD = y^3 - 3py - 2q = 0,

dimana :

p = \frac{\alpha^{2}-3\beta}{9}, dan q = \frac{-2\alpha^2 + 9\alpha \beta - 27\gamma}{54}.

Untuk membuat persamaan parameter terhadap bentuk kubik homogen KD tersebut, dimisalkan u dan v sebagai akar-akar dari persamaan kuadrat Q_1 = z^2-yz+p. Maka u+v=y dan uv=p. Disubstitusikan ke KD=y^3-3py-2q=0 menjadi :

u^3+v^3 + 3(uv-p)(u+v)-2q=0,

atau

u^3+v^3 = 2q.

Karena perkalian dari dua kubik u^{3}v^{3} = p^3, maka u^3 dan v^3 juga merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat lain, yaitu : Q_2 = w^2 - 2qw + p^3 = 0, dengan :

u^3=q+\sqrt{q^2-p^3} dan v^3=q-\sqrt{q^2-p^3}

Jadi x = y - \alpha /3 = u + p/u - \alpha /3, dimana :

u = \sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}.

Bila u_1 adalah salah satu akar kubik, maka akar-akar yang lainnya adalah u_1\omega dan u_1\omega^2 . Misalkan v_1 = p/u_1 maka :

u_1\omega + p/(u_1\omega)= u_1\omega + v_1\omega^2

u_1\omega^2 + p/(u_1\omega^2)= u_1\omega^2 + v_1\omega.

Jadi persamaan kubik mempunyai 3 buah penyelesaian :

u_1+v_1 - \alpha/3;

u_1 \omega + v_1 \omega^2 - \alpha/3; dan

u_1\omega^2+v_1\omega-\alpha/3.

Dan ini berlaku untuk q^2-p^3 > 0, yaitu kasus dimana akar kubik adalah akar kubik riil.

Persamaan Kubik Biner

Perluasan ke bentuk-bentuk persamaan kubik biner adalah sangat mungkin dan ini merupakan topik penelitian yang masih hangat didiskusikan baik di area analisis maupun teori bilangan. Bentuk persamaan kubik biner adalah sebagai berikut :

K(x,y) = ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3,~~~a,b,c,d \in \mathbb{Z}

dengan diskriman :

D = b^2c^2-27a^2d^2+18abcd-4ac^3-4b^3d.

Untuk mendapatkan akar-akar riil, diambil D > 0 dan y=1. Jadi persamaan kubik menjadi :

K = ax^3 + bx^2 + cx + d.

dengan bentuk Hessian :

H_K(x,y)=-\frac{1}{4}\begin{vmatrix}  \partial^2K/(\partial x \partial x) & \partial^2K/(\partial x \partial y) \\  \partial^2K/(\partial x \partial x) & \partial^2K/(\partial y \partial y)  \end{vmatrix} = -\frac{1}{4}\begin{vmatrix}  6ax + 2by & 2bx + 2cy \\  2bx + 2cy & 2cx + 6dy  \end{vmatrix}

setelah dihitung dan disederhanakan menjadi :

H_K(x,y)=(b^2-3ac)x^2+(bc-9ad)xy+(c^2-3bd)y^2,

atau

H_K(x,y)= Q(x,y) = Q_1x^2+Q_2xy + Q_3y^2

dimana :

Q_1=b^2-3ac, Q_2=bc-9ad, dan Q_3=c^2-3bd. Bentuk Hessian ini memiliki diskriminan 3 kali negatif diskriman bentuk kubiknya, yaitu :

\textup{disc}(H_K(x,y))=Q_2^2-4Q_1Q_3=-3D

Definisi :

Bentuk Hessian dari kubik biner K, atau H_K(x,y)=Q_n(K) dikatakan reducible jika \left | Q_2 \right | \leq Q_1 \leq Q_3, dan Q_3>0. Bentuk kubik biner K(x,y) adalah reducible jika H_K(x,y)=Q_n(K) adalah juga reducible dan memenuhi beberapa kondisi berikut :

  • Jika b=0 maka a>0, b\geq 0 dan d<0.
  • Jika Q_1=Q_2, maka b < \left | 3a-b \right |.
  • Jika Q_1=Q_3, maka a \leq d dan b<\left | c \right | jika \left | d \right |=a.

Contoh 1. Bentuk kubik biner x^3+2y^3 mempunyai a=1, b=c=0, dan d=2; Q_1=0, Q_2=-18, dan Q_3=0. Karena \left | Q_2 \right | > Q_1 maka bentuk kubik biner x^3+2y^3 termasuk irreducible. Lebih jauh D=-108<0 yang berarti bentuk kubik biner ini tidak mempunyai satu pun akar kubik riil.

Ide dari reduksi bentuk polinomial ialah bentuk yang berbeda adalah equivalen melalui pertukaran basis. Dalam konteks biner dikenal ada dua grup matrix yang bertanggungjawab dalam menangani pertukaran basis, yaitu SL_2(\mathbb{Z}) dan GL_2(\mathbb{Z}).

Definisi :

SL_2(\mathbb{Z}) adalah grup matrix \bigl(\begin{smallmatrix}  a & b\\  c & d  \end{smallmatrix}\bigr) dengan koefisien integer sedemikian sehingga ad-bc=1.

GL_2(\mathbb{Z}) adalah grup matrix \bigl(\begin{smallmatrix}  a & b\\  c & d  \end{smallmatrix}\bigr) dengan koefisien integer sedemikian sehingga ad-bc=\pm 1.

Teorema :

Setiap bentuk kubik biner yang irreducible adalah ekuivalen terhadap bentuk kubik reducible tertentu (unik) melalui aksi pertukaran basis GL_2(\mathbb{Z})

Bukti : Lihat Corollary 3.3 di Belabas [1].

Dalam tulisan ini digunakan definisi reduksi bentuk Hessian untuk menghasilkan bentuk kubik biner yang reducible. Lebih jauh bentuk kubik (cubic forms) adalah bentuk sekawan dari cubic fields, melalui cubic rings; yaitu, terdapat bijeksi antara cubic forms dan cubic rings.

Contoh 2. Bentuk kubik biner pada contoh 1, bisa ditulis menjadi ax^3+dy^3, juga bersesuaian dengan cubic ring :

\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha +\mathbb{Z}\beta,

dimana : \alpha\beta=-ad; \alpha^2=-\alpha\beta; \beta^2=d\alpha; \alpha^3=a^2d; dan \beta^3=-ad^2.

Jika a=1 maka cubic ring ini adalah isomorphic terhadap \mathbb{Z}[\sqrt[3]{d}], dan jika d=1 maka ring ini isomorphic terhadap \mathbb{Z}[\sqrt[3]{a}].

Referensi dan Sumber Bacaan

[1] Belabas, K. 1997. A Fast Algorithm to Compute Cubic Fields. Mathematics of Computation.

[2] D.R. Heath-Brown. 2001. Primes represented by x^3+2y^3. Acta Mathematica.

[3] D.R. Heath-Brown dan B.Z. Moroz. 2002. Primes represented by binary cubic forms. Proceedings of the London Mathematical Society.

[4] D.R. Heath-Brown dan B.Z. Moroz. 2004. On the representation of primes by cubic polynomial in two variables. Proceedings of the London Mathematical Society.

About these ads