Definisi. Sebanyak n fungsi D_n(x) pada interval T dikatakan konvergen terhadap fungsi D(x) pada T jika untuk setiap x\in T

\displaystyle\lim_{n \to \infty }D_n(x)=D(x)

yaitu untuk setiap x\in T dan untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap n\geq N maka \left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall x\in T, \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n \geq N, \left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon.

Kekonvergenan dikatakan seragam pada T jika

\displaystyle \lim_{n \to \infty }\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right |=0,

yaitu untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap n \geq N maka \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n \geq N, \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | < \epsilon.

Sifat kekonvergenan yang seragam pada sejumlah n fungsi D_n berperan penting untuk melihat sifat suatu elemen dalam deretan fungsi tersebut apakah ia ditransfer terhadap limitnya atau tidak. Dua teorema berikut dapat digunakan untuk melihat apakah suatu perurutan fungsi D_n konvergen seragam atau tidak.

Teorema A. Sebanyak n fungsi D_n konvergen seragam pada T jika dan hanya jika memenuhi sifat keseragaman deret fungsi Cauchy pada T yaitu :

\displaystyle \lim_{m,n \to \infty }\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |=0

Dengan kata lain, untuk setiap \epsilon > 0 terdapat N\in\mathbb{N} dan untuk setiap m,n \geq N maka \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \epsilon. Atau ditulis :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall m,n \geq N, \sup_{x\in T} \left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \epsilon.

Bukti :

Jika diasumsikan D_n konvergen seragam terhadap D pada T yaitu :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Dengan \epsilon > 0 dan untuk m,n \in\mathbb{N} dengan m,n \geq N diperoleh :

\begin{array}{lcl}\displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right | & \leq & \displaystyle \sup_{x\in T}(\left | D_n(x)-D(x) \right | + \left | D_n(x)-D_m(x) \right |) \\ & \leq & \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | + \sup_{x\in T} \left | D_n(x)-D_m(x) \right |\\& < & \displaystyle 2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\end{array}

Sebaliknya, jika diasumsikan bahwa \left \{ D_n \right \} ialah sebanyak n fungsi Cauchy yang seragam, yaitu :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall m,n \geq N,\sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Deretan fungsi \left \{ D_n(x) \right \} untuk sebarang x\in T merupakan deretan fungsi Cauchy pada bilangan riil, sehingga deretan fungsi tersebut konvergen terhadap fungsi bilangan riil, misalnya D(x). Sehingga diperoleh :

\displaystyle \forall \epsilon > 0, \forall x\in T, \exists m_x > N, \left | D_{m_x}(x)-D(x) \right |< \frac{\epsilon}{2}.

Jika \epsilon > 0 sebarang dan n > N, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D(x) \right | &\leq & \displaystyle \sup_{x\in T}(\left | D_n(x)-D_{m_x}(x) \right | + \left | D_{m_x}(x)-D(x) \right |) \\ & < & \displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\end{array}

Jadi kekonvergenan D_n terhadap D adalah seragam pada interval T.

Teorema B. Jika f_k : T \to\mathbb{R} adalah perurutan fungsi sedemikian sehingga \sup_{x\in T}\left |f_k(x)\right | \leq M_k untuk setiap k\in\mathbb{N}, dan jika \sum_{k=1}^{\infty} M_k < \infty, maka deret \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) adalah konvergen seragam pada T.

Bukti :

Dimisalkan m,n\in\mathbb{N} dengan n > m. Maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \sup_{x\in T}\left | D_n(x)-D_m(x)\right | &=& \displaystyle \sup_{x\in T}\left | \sum_{k=1}^{n}f_k(x)- \sum_{k=1}^{m}f_k(x)\right |\\ &=& \displaystyle \sup_{x\in T}\left | \sum_{k=m+1}^{n}f_k(x)\right | \leq \sum_{k=m+1}^{n}\sup_{x\in T}\left |f_k(x)\right | \\ &\leq & \displaystyle \sum_{k=m+1}^{n}M_k=\sum_{k=1}^{n}M_k - \sum_{k=1}^{m}M_k.\end{array}

Karena \displaystyle M=\sum_{k=1}^{\infty}M_k < \infty maka :

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}M_k - \sum_{k=1}^{m}M_k \to M-M = 0 ketika m,n \to\infty

sehingga \left \{ D_n \right \} adalah perurutan fungsi Cauchy yang seragam pada T.

Teorema C. Jika \left \{ D_n \right \} adalah perurutan fungsi kontinyu pada T, dan D_n konvergen seragam terhadap D pada T, maka D adalah fungsi kontinyu pada T.

Bukti :

Dimisalkan x_0\in T sebarang. Diperoleh :

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N},\forall n\geq N, \sup_{x\in T}\left |D_n(x)-D(x)\right | < \frac{\epsilon}{3}

dan

\displaystyle \forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0 sedemikian sehingga \displaystyle \left |x-x_0\right | < \delta menyebabkan \displaystyle \left |D_n(x)-D_n(x_0)\right | < \frac{\epsilon}{3}.

Untuk \epsilon > 0 telah diketahui, x\in T, n\in\mathbb{N} dengan n > N dan \left |x-x_0\right | < \delta. Maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \left |D(x)-D(x_0)\right | & \leq & \displaystyle \left |D(x)-D_n(x)\right | + \left |D_n(x)-D_n(x_0)\right | + \left |D_n(x_0)-D(x_0)\right | \\ & < & \displaystyle 3\frac{\epsilon}{3} = \epsilon.\end{array}

dan karena itu D kontinyu pada x_0. Karena x_0\in T sebarang, maka D kontinyu pada T.

About these ads