Lagu-lagu Bertemakan Matematika

Ada banyak cara untuk bisa lebih akrab dengan matematika, hehe… atau mungkin punya kesan tertentu dengan matematika dan ingin melampiaskannya, entah senang, suka, kecewa, bosan, dll., atau untuk sekedar berbagi tentang suatu topik yang menarik di matematika. Salah satu cara untuk melampiaskannya adalah lewat lagu. Yang pasti lagu yang lucu-lucu, kalau enggak lucu enggak seru, kalau enggak seru nanti malah jadi tambah bosan dengan matematika hehe… Maka dari itu, yu kita cari tau dan simak lagu-lagu yang bertemakan matematika! 🙂

Di YouTube baru-baru ini saya temukan banyak sekali lagu matematika yang lucu-lucu. Beberapa diantaranya ada yang disertai lirik dan ilustrasi video. Salah satunya adalah lagu dari Tom Lehrer, yang berjudul “That’s Mathematics!” :

Berikutnya ada lagu Math Is A Wonderful Thing :

Lagu The Fraction bercerita tentang bilangan pecahan :

Berikutnya ada lagu dari Jazzmine Farol, yang mengaku lagu ini dibuat untuk mendapatkan nilai ekstra dari guru matematikanya :

Dan lagu tentang pi, hehe… kalau yang ini lirik lagunya banyak angka :

Advertisements

On Continuum Hypothesis

** There is no relationship between Continuum hypothesis, whether true or false, and Riemann hypothesis (as it were told by someone in his message to me on Twitter, and of course, we wouldn’t have anything to construct such intuition). Riemann hypotesis deals with all nontrivial zeros of the Riemann zeta function on critical line x=1/2. Riemann hypothesis (that is known as Hilbert’s eight problem) is still unresolved and is considered to be the most important outstanding problem in contemporary number theory, especially in the distribution of prime numbers. Incidentally, Continuum hypothesis is also regarded by many people as the most important hypothesis in Set Theory. They both share the most important hypothesis in their areas (and presumably, Riemann hypothesis implies important result in many areas, if it is valid, but of course we are still in the realm of conjectures and speculation).**

Continuum Hypothesis deals with ‘something’ in between set A and the set of subsets of A. As I wrote in my previous posting, there is an infinite hierarchy of infinite sets. Cantor then raised the following question : If A is the set of positive integers, we know that A < P(A), but is there some set B such that A < B and B < P(A)? Cantor conjectured that the answer is ‘no’, and it is this conjecture that is called the Continuum hypothesis. (You might be interested in advanced reading about this topic in Infinite Ink. Update : Interesting paper by W. Hugh Woodin on how ZFC might be modified).

It worths to briefly point out some interesting ideas underlying the Continuum hypothesis. Continuum hypothesis is called by many people as the parallel postulate of set Theory. It has been proved by Kurt Godel and Paul Cohen, that neither the continuum hypothesis nor its negation follows from the ‘basic’ axioms of set theory, and no one has yet been able to produce a not-so-basic axiom that would yield a convincing answer to Cantor’s question.

A similar thing happened in the case of the well ordering principle, an axiom equivalent to the axiom of choice. Cantor then adopted it. The Medievals had noted that the number of points in a large circle is the same as that in a small concentric circle, in the sense that each radius of the large circle passes through exactly one point of each circle. Similar observation led Bernhard Bolzano (1781-1848) and others to the conclusion that any two infinite sets are ‘equal’ because they can be linked by a one-to-one correspondence. In 1873 Cantor discovered that this is wrong. One of his proofs goes as follows.

Let A be an infinite set (that is, one containing infinitely many ‘numbers’). Let P(A) be the set of subsets of A. Suppose that A and P(A) are linked by one-to-one correspondence f : A \rightarrow P(A). Let S be the set of members x of A such that x \not\in f(x). Then S \in P(A), and there is some y \in A such that S = f(y).

If y \in S = f(y) then, by defining property of S, y \not\in f(y). However, if y \not\in f(y) = S, then, by the definition of S, it is a member of S. Contradiction. Hence A and P(A) are not linked by one-to-one correspondence.

Since for every member x of A, P(A) has \{x\} as a member, there is a ‘copy’ of A that is a subset of P(A). Hence A is smaller than P(A), and we can write A<P(A). Similarly, P(A)<P(P(A)). And indeed, we arrive at the infinite hierarchy of infinite sets (as you see at my previous posting), each more infinite than the previous ones.

Bilangan Sempurna Pythagoreans

Bilangan sempurna (perfect numbers) pertama kali dipelajari oleh para matematikawan di sekolah Pythagoras (500-300 SM). Mereka tertarik untuk mempelajari bilangan karena dipercaya mempunyai kandungan mistik dan peramalan dengan angka (numerology). Mereka memahami ide primalitas dalam bilangan serta tertarik dengan pengertian bilangan sempurna.

Bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah semua pembagi propernya sama dengan bilangan itu sendiri. Pembagi proper itu sendiri maksudnya adalah pembagi (faktor) dari suatu bilangan n selain dari n itu sendiri. Dalam bahasa matematikanya, jika d suatu pembagi (faktor) dari bilangan bulat positif n, atau d|n, memenuhi 0 < d < n, maka d adalah pembagi proper dari n. Apabila jumlah semua pembagi proper dari n sama dengan n itu sendiri, maka n dikatakan sebagai bilangan sempurna. Misalnya 6 memiliki pembagi proper 1, 2, dan 3, dan 1+2+3=6. Maka 6 merupakan bilangan sempurna. Contoh lain 28 memiliki pembagi proper : 1, 2, 4, 7, 14, dan 1+2+4+7+14=28.

Karena itu bisa dinyatakan bahwa, Jika s(n) menyatakan jumlah semua pembagi (faktor) dari suatu bilangan positif n, termasuk n itu sendiri, maka n bilangan sempurna jika dan hanya jika s(n)=2n, atau n = \frac{s(n)}{2}.

Puncak pembahasan di jilid IX buku Euclide (300 SM), Elements, adalah di sekitar bukti bahwa suatu bilangan bulat postif dengan bentuk n=2^{m-1}(2^m - 1) adalah bilangan sempurna, dengan 2^m - 1 adalah bilangan prima.

Pembuktian mengenai hal tersebut mungkin berasal dari murid Pythagoras, Archytas (428-347 SM). Karena seperti diketahui, semua teorema yang tertuang dalam buku Elements bukanlah hasil penemuan Euclide. Teorema-teorema yang ada ditemukan oleh matematikawan sebelumnya. Kontribusi penting Euclide di buku Elements adalah di dalam logika pengorganisasian dan struktur aksiomatik, dimana segala sesuatu yang tertulis di deduksi dari sejumlah definisi dan asumsi.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut.

Jika p=2^m-1 adalah bilangan prima, maka pembagi (faktor) dari n=2^{m-1}p adalah :

1, 2, 2^2, ..., 2^m-1, p, 2p, ..., 2^{m-1}p.

Jumlah dari semua pembagi ini adalah :

(1+2+2^2+...+2^{m-1})(1+p)=(2^m - 1)(1+p)=p2^m = 2n.

Bukti ini secara lengkap didapatkan ketika Gauss di tahun 1801 menemukan faktorisasi unik, termasuk bisa diaplikasikan untuk bilangan dengan bentuk 2^{m-1}(2^m-1), dimana langkah pembuktian awal dari Archytas gagal melakukannya.

Bilangan bulat dengan bentuk 2^m-1 adalah bilangan prima hanya jika m adalah juga bilangan prima. Untuk apabila m=ab, dengan a,b >1, diperoleh faktorisasi :

2^{ab} - 1= (2^a - 1)((2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + ...+ 2^a+1).

Hal tersebut berlaku juga sebaliknya.

Bilangan prima dengan bentuk 2^m - 1 memunculkan bilangan sempurna, seperti yang ditemukan di buku Euclide. Bilangan prima demikian dinamakan Mersennne primes.

Selanjutnya, Edouard Lucas (1842-1891) menemukan cara untuk menguji primalitas dari bilangan bentuk 2^m - 1. Idenya kemudian dilanjutkan oleh Derrick H. Lehmer (1905-1991) dengan membuat algoritma berikut :

Ambil u_1=4, dan u_{n+1}=u_n^2 - 2.

Misalnya, u_2=14, dan u_3=194.

Jika m>2 maka 2^m - 1 adalah bilangan prima hanya apabila 2^m - 1 adalah sebuah faktor dari u_{m-1}.

Sebagai contoh, 2^5 - 1 adalah faktor dari u_4=37.634, maka 2^5 - 1 adalah prima, jadi 2^4(2^5 - 1)=496 adalah bilangan sempurna.

Melalui pengujian dari Lucas diketahui bahwa 2^m - 1 adalah bilangan prima ketika nilai dari m adalah seperti tampak pada tabel berikut :

\begin{tabular}{ r r r }2 & 107 & 9941 \\3 & 127 & 11213 \\5 & 521 & 19937 \\7 & 607 & 21701 \\13 & 1279 & 23209 \\17 & 2203 & 44497 \\19 & 2281 & 86243 \\31 & 3217 & 110503 \\61 & 4253 & 132049 \\89 & 4423 & 216091 \\& 9689 & 756839 \\\end{tabular}

(selengkapnya lihat tabel bilangan prima Mersenne).

Bukti dari Euler

Setiap bilangan sempurna memiliki formula seperti dinyatakan di buku IX Euclide. Ini dibuktikan oleh Leonhard euler (1707-1783) sebagai berikut :

Misal n adalah bilangan sempurna. Bila n =2^{m-1}q dengan q ganjil dan m, q>1. Semua pembagi n memiliki bentuk 2^{r}d dengan

0 \leq r \leq (m-1), dan d adalah suatu pembagi dari q.

Jadi : s(n) = (1+2+...+2^{m-1})s(q)=(2^m-1)s(q).

Karena n adalah sempurna, maka 2^{m}q=s(n)=(2^{m}-1)s(q).

Jadi, (2^{m}-1)(s(q)-q)=q.

Misal : s(q)-q>1.

Maka q mempunyai faktor 1, s(q)-q, q.

Jika s(q)-q=q maka (2^{m}-1)q=q (tidak mungkin).

s(q) \geq 1+s(q)-q+q=s(q)+1 (kontradiksi).

Karena itu s(q)-q=1.

Jadi s(q) = q+1, sehingga q adalah prima.

Lebih jauh lagi, bentuk (2^{m}-1)(s(q)-q)=q mengimplikasikan 2^{m}-1=q.