Bentuk Biner Kuadratik dan Kubik

Sekitar 400 tahun yang lalu, Fermat menulis surat kepada Mersenne, menyebutkan bahwa setiap bilangan prima ke- 4n+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dua buah kuadrat. Sepuluh tahun kemudian dalam surat yang disampaikan kepada Pascal, Fermat menjelaskan bentuk prima dapat juga ditulis sebagai bentuk jumlah x^2+ 2y^2, dan juga bentuk jumlah x^2+ 3y^2. Tetapi pembuktian mengenai hal tersebut secara lengkap dilakukan oleh Euler 3 abad tahun yang lalu, bukan oleh Fermat. Euler menulis bukti pertama untuk klaim ini setelah mengetahui masalah yang tertulis dalam surat dari Goldbach. Sejak itu Lagrange, Gauss, dan Dedekind, antara lain, juga telah menemukan langkah-langkah pembuktian yang berbeda untuk membuktikan teorema prima sebagai bentuk jumlah dua buah kuadrat.

Menyatakan bilangan prima dalam bentuk p=x^2+ ny^2 mengarah kepada penelitian di kelas bentuk biner kuadratik, yang dapat ditempuh melalui teori reduksi. Kemudian melalui definisi Hessian untuk bentuk biner ditunjukkan bahwa bentuk biner kuadratik dapat diasosiasikan dengan bentuk biner kubik, yaitu secara esensial setiap bentuk kubik adalah tereduksi apabila bentuk kuadratik yang berasosiasi dengannya juga tereduksi. Dengan formula Hessian juga ditunjukkan bahwa setiap kelas yang equivalen dengan bentuk kubik biner dengan diskriman D > 0 memiliki wakil reduksi yang unik. Pendekatan ini telah dikerjakan melalui cubic number fields dari Belabas serta dengan penanganan batas-batas koefisien untuk bentuk kubik tereduksi.

Bentuk biner integral fungsi f(x, y) berderajat n adalah fungsi polinomial homogen dalam \mathbb{Z}[x, y].

Jika n = 2, diperoleh fungsi kuadrat f(x, y)=ax^2+bxy+cy^2.

Jika n = 3, didapatkan fungsi kubik f(x, y)=ax^3+bx^{2}y+cxy^2+dy^3.

Bentuk biner kuadratik ditulis (a, b, c) maka bentuk biner kubik ditulis (a, b, c, d).

Diskriminan \Delta suatu bentuk biner kuadratik f = (a, b, c) ialah

\Delta (f)=\Delta=b^2 - 4ac.

Demikian juga, diskriman D untuk bentuk kubik biner f = (a, b, c, d) ialah

D(f)=D=18abcd+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^2.

Dengan asumsi bahwa pembagi umum terbesar \gcd(a, b, c) = 1 = \gcd(a, b, c, d). Bentuk demikian dikatakan primitif. Asumsi lain f(x, 1) irreducible untuk semua bilangan rasional \mathbb{Q}.

Dua bentuk biner kuadratik f = (a, b, c) dan g = (a', b', c') dengan \Delta dan \Delta' yang tidak nol dikatakan ekuivalen jika terdapat  \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z} dengan \alpha \delta - \beta \gamma = 1 dan f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)=g(x,y).

Atau ditulis : f \sim g. Jika f \sim g, maka \Delta = \Delta'.

Selanjutnya bentuk biner kuadratik f(a,b,c) dengan \Delta<0 dikatakan tereduksi apabila |b| \leq a \leq c.

Hal di atas secara langsung mengimplikasikan bahwa hanya ada formula reduksi dengan jumlah berhingga untuk diskriman tetap \Delta<0.

Untuk f = (a, b, c, d) suatu bentuk kubik integral, formula Hessian dari bentuk f, dinotasikan dengan H f(x, y) adalah :

H f(x, y) = Px^2 +Qxy +Ry^2,

dimana P=b^2 -3ac, Q=bc-9ad, R=c^2-3bd.

Formula Hessian memiliki implikasi antara lain sebagai berikut :

Karena D(f) > 0, maka \Delta (Hf) < 0. Jadi, H f adalah bentuk biner kuadratik dengan diskriman negatif.

Bentuk kubik f dengan D > 0 tereduksi jika bentuk Hessiannya juga tereduksi, selama memenuhi kondisi ini.

Bentuk kubik f dapat direduksi dengan variabel transfromasi yang digunakan untuk mereduksi Hf.

Teorema Davenport-Heilbronn menyatakan bahwa :

Untuk q pangkat prima dengan \gcd(q,6)=1, maka terdapat diskriman yang menetapkan bijeksi isomorfisma antara kelas medan fungsi kubik \mathbb{F}_q(t) dan kelas bentuk kubik biner di semua \mathbb{F}_q[t] yang ada di suatu himpunan U.

Pendekatan ini telah dikerjakan oleh Belabas, Karim (1997) untuk Cubic Number Fields, bacaan selengkapnya : A Fast Algorithm to Compute Cubic Fileds; Belabas dan Cohen di situs webnya, Binary Cubic Forms and Cubic Number Fields (dengan aplikasi algoritma). Investigasi menarik mengenai bentuk-bentuk kubik biner oleh Abbott, Barbara (2009), Investigating Binary Cubic Forms, dan sebuah presentasi dari Rozenhart, P. Michael (2007), The Davenport-Heilbronn Theorem and Binary Cubic Forms.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s