Tiga Langkah Solusi Persamaan Kubik

Pada tulisan sebelumnya saya gambarkan sedikit mengenai solusi persamaan kubik : x^3+ax^2+bx+c=0 dalam pengertian perpotongan parabola dan hiperbola. Solusi riil didapatkan pada absis titik potongnya. Sebagai kilas balik langkah penyelesaian persamaan kubik yang didapatkan dari Ferro, Tartaglia dan juga dari hasil buah pikir François Viète, saya tuliskan kembali ringkasan langkah-langkah penyelesaian persamaan kubik yang secara umum dapat ditempuh dalam 3 langkah sebagai berikut.

Langkah 1 :

Hitung : p=\frac{a^2-3b}{9} dan q=\frac{-2a^3+9ab-27c}{54}

Catatan : Jika salah satu hasilnya 0 maka masalah persamaan kubik menjadi trivial.

Langkah 2 :

Hitung : q^2-p^3

Langkah 3 :

a. Jika q^2-p^3>0

Ambil definisi : u_1=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}} dan v_1=\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}

Solusinya adalah :

u_1+v_1-\frac{a}{3}

u_1\omega+v_1\omega^2-\frac{a}{3}

u_1\omega^2+v_1\omega-\frac{a}{3}

dimana \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}.

b. Jika q^2-p^3=0

Solusinya :

2\sqrt[3]{q}-\frac{a}{3}

-\sqrt[3]{q}-\frac{a}{3}

c. Jika q^2-p^3<0

Ambil definisi : r=\sqrt{p^3-q^2} dan \alpha=\arctan(\frac{r}{q}) jika q>0

atau

\alpha=\arctan(\frac{r}{q})+\pi jika q<0.

Persamaan kubik memiliki tiga solusi riil :

2\sqrt{p} \cos\frac{\alpha}{3}-\frac{a}{3}

-\sqrt{p} \cos\frac{\alpha}{3}\pm \sqrt{3p} \sin\frac{\alpha}{3}-\frac{a}{3}.

One thought on “Tiga Langkah Solusi Persamaan Kubik

  1. Pingback: Persamaan kubik dan topik penelitian di seputar bentuk kubik biner « matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s