Bilangan Sempurna Pythagoreans

Bilangan sempurna (perfect numbers) pertama kali dipelajari oleh para matematikawan di sekolah Pythagoras (500-300 SM). Mereka tertarik untuk mempelajari bilangan karena dipercaya mempunyai kandungan mistik dan peramalan dengan angka (numerology). Mereka memahami ide primalitas dalam bilangan serta tertarik dengan pengertian bilangan sempurna.

Bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah semua pembagi propernya sama dengan bilangan itu sendiri. Pembagi proper itu sendiri maksudnya adalah pembagi (faktor) dari suatu bilangan n selain dari n itu sendiri. Dalam bahasa matematikanya, jika d suatu pembagi (faktor) dari bilangan bulat positif n, atau d|n, memenuhi 0 < d < n, maka d adalah pembagi proper dari n. Apabila jumlah semua pembagi proper dari n sama dengan n itu sendiri, maka n dikatakan sebagai bilangan sempurna. Misalnya 6 memiliki pembagi proper 1, 2, dan 3, dan 1+2+3=6. Maka 6 merupakan bilangan sempurna. Contoh lain 28 memiliki pembagi proper : 1, 2, 4, 7, 14, dan 1+2+4+7+14=28.

Karena itu bisa dinyatakan bahwa, Jika s(n) menyatakan jumlah semua pembagi (faktor) dari suatu bilangan positif n, termasuk n itu sendiri, maka n bilangan sempurna jika dan hanya jika s(n)=2n, atau n = \frac{s(n)}{2}.

Puncak pembahasan di jilid IX buku Euclide (300 SM), Elements, adalah di sekitar bukti bahwa suatu bilangan bulat postif dengan bentuk n=2^{m-1}(2^m - 1) adalah bilangan sempurna, dengan 2^m - 1 adalah bilangan prima.

Pembuktian mengenai hal tersebut mungkin berasal dari murid Pythagoras, Archytas (428-347 SM). Karena seperti diketahui, semua teorema yang tertuang dalam buku Elements bukanlah hasil penemuan Euclide. Teorema-teorema yang ada ditemukan oleh matematikawan sebelumnya. Kontribusi penting Euclide di buku Elements adalah di dalam logika pengorganisasian dan struktur aksiomatik, dimana segala sesuatu yang tertulis di deduksi dari sejumlah definisi dan asumsi.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut.

Jika p=2^m-1 adalah bilangan prima, maka pembagi (faktor) dari n=2^{m-1}p adalah :

1, 2, 2^2, ..., 2^m-1, p, 2p, ..., 2^{m-1}p.

Jumlah dari semua pembagi ini adalah :

(1+2+2^2+...+2^{m-1})(1+p)=(2^m - 1)(1+p)=p2^m = 2n.

Bukti ini secara lengkap didapatkan ketika Gauss di tahun 1801 menemukan faktorisasi unik, termasuk bisa diaplikasikan untuk bilangan dengan bentuk 2^{m-1}(2^m-1), dimana langkah pembuktian awal dari Archytas gagal melakukannya.

Bilangan bulat dengan bentuk 2^m-1 adalah bilangan prima hanya jika m adalah juga bilangan prima. Untuk apabila m=ab, dengan a,b >1, diperoleh faktorisasi :

2^{ab} - 1= (2^a - 1)((2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + ...+ 2^a+1).

Hal tersebut berlaku juga sebaliknya.

Bilangan prima dengan bentuk 2^m - 1 memunculkan bilangan sempurna, seperti yang ditemukan di buku Euclide. Bilangan prima demikian dinamakan Mersennne primes.

Selanjutnya, Edouard Lucas (1842-1891) menemukan cara untuk menguji primalitas dari bilangan bentuk 2^m - 1. Idenya kemudian dilanjutkan oleh Derrick H. Lehmer (1905-1991) dengan membuat algoritma berikut :

Ambil u_1=4, dan u_{n+1}=u_n^2 - 2.

Misalnya, u_2=14, dan u_3=194.

Jika m>2 maka 2^m - 1 adalah bilangan prima hanya apabila 2^m - 1 adalah sebuah faktor dari u_{m-1}.

Sebagai contoh, 2^5 - 1 adalah faktor dari u_4=37.634, maka 2^5 - 1 adalah prima, jadi 2^4(2^5 - 1)=496 adalah bilangan sempurna.

Melalui pengujian dari Lucas diketahui bahwa 2^m - 1 adalah bilangan prima ketika nilai dari m adalah seperti tampak pada tabel berikut :

\begin{tabular}{ r r r }2 & 107 & 9941 \\3 & 127 & 11213 \\5 & 521 & 19937 \\7 & 607 & 21701 \\13 & 1279 & 23209 \\17 & 2203 & 44497 \\19 & 2281 & 86243 \\31 & 3217 & 110503 \\61 & 4253 & 132049 \\89 & 4423 & 216091 \\& 9689 & 756839 \\\end{tabular}

(selengkapnya lihat tabel bilangan prima Mersenne).

Bukti dari Euler

Setiap bilangan sempurna memiliki formula seperti dinyatakan di buku IX Euclide. Ini dibuktikan oleh Leonhard euler (1707-1783) sebagai berikut :

Misal n adalah bilangan sempurna. Bila n =2^{m-1}q dengan q ganjil dan m, q>1. Semua pembagi n memiliki bentuk 2^{r}d dengan

0 \leq r \leq (m-1), dan d adalah suatu pembagi dari q.

Jadi : s(n) = (1+2+...+2^{m-1})s(q)=(2^m-1)s(q).

Karena n adalah sempurna, maka 2^{m}q=s(n)=(2^{m}-1)s(q).

Jadi, (2^{m}-1)(s(q)-q)=q.

Misal : s(q)-q>1.

Maka q mempunyai faktor 1, s(q)-q, q.

Jika s(q)-q=q maka (2^{m}-1)q=q (tidak mungkin).

s(q) \geq 1+s(q)-q+q=s(q)+1 (kontradiksi).

Karena itu s(q)-q=1.

Jadi s(q) = q+1, sehingga q adalah prima.

Lebih jauh lagi, bentuk (2^{m}-1)(s(q)-q)=q mengimplikasikan 2^{m}-1=q.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s