Distribusi bilangan prima dan fungsi zeta Riemann

Distribusi bilangan prima, atau yang dihitung dengan prime counting function, \pi(x), yaitu jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan x, kalau diplot hasilnya tampak berupa step function, untuk setiap muncul bilangan prima terjadi kenaikan satu tahap ke atas. Di library mpmath, prime counting function dinyatakan dengan fungsi primepi(). Sebagai contoh untuk membuat plot terhadap distribusi bilangan prima \leq 100 :

from mpmath import *
plot([primepi], [0,100])

hasilnya :

primepi 100

Untuk distribusi bilangan prima \leq 1000 hasil plotnya tampak lebih halus :

primepi 1000

Semakin luas x semakin halus hasil plotnya. Untuk pendekatan lainnya, secara eksak, \pi (x) juga bisa dinyatakan dengan fungsi R (x) dari Riemann, yang dihitung dengan deret Gram,

R(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\ln x)^{k}}{kk!\zeta(k+1)}

Di mana \zeta(k+1) adalah fungsi zeta Riemann.

Fungsi Zeta Riemann pada bidang kompleks

Dari gambar di atas terlihat beberapa nilai zero untuk fungsi zeta Riemann pada bidang kompleks, yang terbagi menjadi trivial zero dan nontrivial zero. Untuk menghitung nontrivial zero di mpmath digunakan fungsi zetazero(). Di IPython saya gunakan kode dari library mpmath untuk menghitung nontrivial zero kesatu sampai dengan kelima sebagai berikut :

In [1]: from mpmath import *
In [2]: mp.dps = 25; mp.pretty = True
In [3]: zetazero(1)
Out[3]: (0.5 + 14.13472514173469379045725j)
In [4]: zetazero(2)
Out[4]: (0.5 + 21.02203963877155499262848j)
In [5]: zetazero(3)
Out[5]: (0.5 + 25.01085758014568876321379j)
In [6]: zetazero(4)
Out[6]: (0.5 + 30.4248761258595132103119j)
In [7]: zetazero(5)
Out[7]: (0.5 + 32.93506158773918969066237j)

Tabel zero fungsi zeta Riemann yang dikompilasi oleh Andrew Odlyzko bisa dilihat di halaman ini.

Ketika Riemann mempelajari distribusi bilangan prima ia memperluas fungsi zeta Euler (yang didefinisikan hanya untuk s pada bagian real saja yang lebih besar dari satu), menjadi :

\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + ... = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Untuk semua bidang kompleks dengan kutub s = 1. Trivial zero merupakan bilangan genap negatif, -2, -4, -6, … Nontrivial zero yang saat ini diketahui terletak pada critical strip 0 < \textup{Re}[s] < 1, dan selalu muncul dengan pasangan complex-conjugate. Hipotesis Riemann menyatakan bahwa semua nontrivial zero terletak pada garis kritis \textup{Re}[s] = 1/2. (Catatan : Semua nontrivial zero yang diketahui saat ini terletak pada garis kritis tersebut).

Di library mpmath, distribusi bilangan prima dengan pendekatan fungsi zeta Riemann dinyatakan dengan fungsi riemannr() dan untuk membuat plot terhadap fungsi tersebut :

from mpmath import *
plot([riemannr], [0,100])

Hasil plotnya :

riemannr mpmath 100

Perbedaan antara fungsi prime counting dan pendekatan fungsi Riemann R(x) yaitu kenampakan fluktuasi pada distribusi bilangan prima, yang di fungsi Riemann dapat dinyatakan dalam pengertian seluruh zero fungsi zeta Riemann, yang kemudian dinyatakan dengan notasi \rho via fungsi R itu sendiri :

R(x)-\pi(x)=\sum_{\rho}R(x^{\rho})

Beberapa nilai dari x^{\rho} adalah bilangan kompleks, jadi R di sini merupakan analytic continuation dari nilai real fungsi R. Selanjutnya x^{\rho} bisa dinyatakan menjadi bagian trivial zero dan nontrivial zero, bagian pertama :

R(x^{-2}) + R(x^{-4}) + R(x^{-6}) + ...,

dan bagian kedua dapat ditulis,

\sum_{k=1}^{\infty}[R(x^{\rho_{k}})+R(x^{\rho_{-k}})]

Kontribusi dari masing-masing pasangan complex-conjugate \rho_{k} dan \rho_{-k}=\overline{\rho_{k}} saling menghilangkan bagian imajinernya satu sama lain sehingga :

\pi(x)=R(x)-\sum_{m=1}^{\infty}R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{\infty}T_{k}(x)

dimana :

T_{k}(x)=-R(x^{\rho_{x}})-(R(x^{\rho_{-x}})

adalah nilai real.

Dan akhirnya dapatlah kita definisikan perurutan fungsi R_n(x) yang mendekati \pi(x) pada limit:

R_{n}(x)=R(x)-\sum_{m=1}^{\infty}R(x^{-2m})+\sum_{k=1}^{n}T_{k}(x).

One thought on “Distribusi bilangan prima dan fungsi zeta Riemann

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s