Deret Dirichlet dan kekonvergenannya

Definisi. Untuk bilangan kompleks s\in\mathbb{C}, bilangan natural n\in\mathbb{N} dan \delta:\mathbb{N}\to\mathbb{C}, suatu deret Dirichlet didefiniskan sebagai :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\delta(n)}{n^s}

Untuk notasi bilangan kompleks yang digunakan pada tulisan ini sama seperti di posting sebelumnya, yaitu s=\alpha+i\beta dimana \alpha,\beta\in\mathbb{R} dan begitu pula bila ditulis s_0 maka artinya adalah s_0=\alpha_0+i\beta_0.

Lema. Untuk apabila terdapat s_0\in\mathbb{C} dan \gamma\in\mathbb{R} sedemikian sehingga

\displaystyle\left | \sum_{n\leq x}\frac{\delta(n)}{n^{s_0}} \right |\leq\gamma

untuk semua x\geq 1 dan semua s\in\mathbb{C} dengan \alpha >\alpha_0 dan a,b\in\mathbb{N} dengan 0<a<b maka berlaku pertidaksamaan berikut :

\displaystyle\left | \sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |\leq\frac{2\gamma}{a^{\alpha-\alpha_0}}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{\alpha-\alpha_0} \right )

Bukti :

Dengan menggunakan identitas Abel dengan g(n)=\delta(n)/n^{s_0} terhadap f(n)=1/n^{s-s_0}=n^{s_0-s}, dimana G(x) dalam hal ini adalah G(x)=\sum_{n\leq x}\delta(n)/n^{s_0}, maka diperoleh :

\displaystyle\sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s}=G(b)b^{s_0-s}-G(a)a^{s_0-s}-(s_0-s)\int_{a}^{b}G(\beta)\beta^{s_0-s-1}d\beta.

Karena itu,

\begin{array}{lcl}\displaystyle\left | \sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |  &\leq&\displaystyle\gamma b^{\alpha_0-\alpha}+\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\left | \int_{a}^{b}(s_0-s)G(\beta)\beta^{s_0-s-1}d\beta \right | \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\int_{a}^{b}|s_0-s||G(\beta)|\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+|s_0-s|\gamma\int_{a}^{b}\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+|s_0-s|\gamma\int_{a}^{\infty}\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &=&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\frac{\gamma |s_0-s|(-a^{\alpha_0-\alpha})}{(\alpha_0-\alpha)} \\  &=&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{2(\alpha-\alpha_0)} \right ) \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{(\alpha-\alpha_0)} \right )  \end{array}.

Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa untuk setiap deret Dirichlet yang konvergen di beberapa s\in\mathbb{C} terdapat setengah bidang \textit{Re}(s)>\alpha_j yang disana deret konvergen.

Teorema. Untuk setiap deret Dirichlet terdapat \alpha_j,\alpha_k\in\mathbb{R} dengan -\infty\leq\alpha_j\leq\alpha_k\leq\infty sedemikian sehingga :

(1) Deret Dirichlet konvergen jika \alpha > \alpha_j dan divergen jika \alpha < \alpha_j.

(2) Deret Dirichlet konvergen absolut jika \alpha > \alpha_k dan tidak jika \alpha < \alpha_k.

(3) \alpha_k-\alpha_j \leq 1.

Bukti :

Bila deret Dirichlet divergen di semua bidang dimana \alpha_j=\alpha_k=\infty dan jika konvergen di semua bidang dimana \alpha_j=\alpha_k=-\infty. Misalnya kedua kasus tersebut tidak dipenuhi dan diambil s_0 dimana deret Dirichlet konvergen dan s\in\mathbb{C} dengan \alpha > \alpha_0. Melalui Lema tadi dan untuk b_1,b_2\in\mathbb{N} dengan 0<b_1<b_2, maka

\displaystyle\left | \sum_{n=1}^{b_2}\frac{\delta(n)}{n^s}-\sum_{n=1}^{b_1}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\left | \sum_{b_1<n\leq b_2}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |\leq\frac{B}{b_1^{\alpha-\alpha_0}}

dimana B tidak bergantung pada b_1 dan b_2. Karena itu, bila \lim_{b_1\to\infty}1/b_1^{\alpha-\alpha_0}=0, maka deret jumlah parsialnya adalah deret Cauchy sehingga deret Dirichlet \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen. Sehingga berikutnya adalah mencari untuk \alpha_j yang dapat dinyatakan sebagai himpunan :

\displaystyle\alpha_j=\textup{inf}\left \{ \alpha\in\mathbb{R}|\sum\delta(n)/n^{\alpha}~~\textup{konvergen} \right \}.

yang memiliki batas karena deret \sum\delta(n)/n^s tidak konvergen untuk semua bidang \mathbb{C}.

Untuk kasus \alpha > \alpha_0+1, karena \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen, maka \lim_{n\to\infty}\delta(n)/n^{s_0}=0, sehingga terdapat suatu \gamma\in\mathbb{R} sedemikian sehingga |\delta(n)/n^{s_0}|\leq\gamma untuk semua n. Ini menyebabkan |\delta(n)|\leq\gamma n^{\alpha_0}, dan juga

\displaystyle\left | \frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\frac{|\delta(n)|}{n^s}\leq \frac{\gamma n^{\alpha_0}}{n^\alpha}=\frac{\gamma}{n^{\alpha-\alpha_0}}

dengan \alpha-\alpha_0 > 1. Hal ini menunjukan bahwa deret Dirichlet \sum\delta(n)/n^s konvergen absolut karena \sum\gamma/n^{\alpha-\alpha_0} adalah konvergen.

Demikian juga untuk membuktikan Teorema bagian (2), jika \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen absolut, maka \sum\delta(n)/n^s juga konvergen absolut dengan \alpha > \alpha_0,

\displaystyle\left | \frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\frac{|\delta(n)|}{n^\alpha}\leq \frac{|\delta(n)|}{n^{\alpha_0}}=\left |\frac{\delta(n)}{n^{s_0}}\right |

Karena itu, batas yang diambil dapat dinyatakan sebagai :

\displaystyle\alpha_k=\textup{inf}\left \{ \alpha\in\mathbb{R}|\sum\delta(n)/n^{\alpha}~~\textup{konvergen absolut} \right \}

dan teorema bagian (2) terbukti. Sedangkan bagian (3) dapat dibuktikan dari kekonvergenan pada s_0 yang menyebabkan kekonvergenan absolut pada s untuk semua s\in\mathbb{C} dengan \alpha > \alpha_0+1.

Teorema di atas telah menunjukan batas-batas \alpha di mana kekonvergenan deret Dirichlet terjadi pada setengah bidang \textit{Re}(s)=\alpha >\alpha_j yang disana deret dapat dinyatakan sebagai fungsi bervariabel kompleks s :

\displaystyle D(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\delta(n)}{n^s}.

Identitas Abel

Kaitan antara deret penjumlahan dan integral merupakan hal yang sangat penting dalam teori bilangan analitik. Teorema berikut menjelaskan kaitan tersebut.

Teorema.  Untuk suatu fungsi g:\mathbb{N}\to\mathbb{C} dan didefinisikan G(x)=\sum_{n\leq x}g(n) jika x\geq 1, dan 0 jika yang lainnya, dan untuk 0<y<x terdapat suatu fungsi f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} yang turunannya kontinyu di \left [ y,x \right ]. Identitas Abel menyatakan bahwa :

\displaystyle\sum_{y<n\leq x}g(n)f(n)=G(x)f(x)-G(y)f(y)-\int_{y}^{x}G(v)f'(v)dv.~~~~~(1)

Bukti :

Untuk \left [x \right ] bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x,

\begin{array}{lcl}  \displaystyle  \sum_{y<n\leq x}g(n)f(n)  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}g(n)f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}\left ( G(n)-G(n-1) \right )f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n)f(n)-\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n-1)f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1}G(n)f(n+1) \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\sum_{n=[y+1]}^{[x]-1}G(n)(f(n+1)-f(n)) \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1}\int_{n}^{n+1}G(n)f'(v)dv \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\int_{[y]+1}^{[x]}G(v)f'(v)dv~~~~~(2)  \end{array}

dimana melalui :

\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{[x]}^{x}G(v)f'(v)dv &=& \displaystyle G([x])\int_{[x]}^{x}f'(v)dv \\ &=& \displaystyle G(x)f(x)-G([x])f([x]) \end{array}

dan

\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{y}^{[y]+1}G(v)f'(v)dv &=& \displaystyle G([y])\int_{y}^{[y]+1}f'(v)dv \\ &=& \displaystyle G([y])f([y]+1)-G(y)f(y). \end{array}

untuk G([x])f([x]) dan G([y])f([y+1]) di (2) maka didapat persamaan (1) di teorema tadi.

Corollary. Jika f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} mempunyai turunan kontinyu di [y,x], dan 0<y<x, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{y<n\leq x}f(n) \\ &=& \displaystyle \int_{y}^{x}f(v)dv+\int_{y}^{x}\left ( v-[v] \right )f'(v)dv \\ &~& \displaystyle +f(x)\left ( [x]-x \right )-f(y)\left ( [y]-y \right )~~~~~(3)\end{array}

Bukti :

Dengan menerapkan identitas Abel, dengan g(n)=1 yang mengakibatkan G(x)=[x] maka :

\displaystyle\sum_{y<n\leq x}f(n)=f(x)[x]-f(y)[y]-\int_{y}^{x}[v]f'(v)dv~~~~~(4)

dan melalui integral :

\displaystyle\int_{y}^{x}f(v)dv=xf(x)-yf(y)-\int_{y}^{x}vf'(v)dv~~~~~(5)

Mengurangkan (5) dari (4) dapat ditemukan persamaan (3).

Lema. Bila n_1<n_2 bilangan bulat, dan f:[n_1,n_2]\to[0,\infty) adalah kontinyu dan berkurang secara tetap maka :

\displaystyle\sum_{n=n_1+1}^{n_2}f(n)\leq\int_{n_1}^{n_2}f(v)dv\leq\sum_{n=n_1}^{n_2-1}f(n).~~~~~(6)

Bukti :

Ambilah bilangan bulat m dimana n_1<m\leq n_2 dan untuk v\in\mathbb{R} berlaku m-1\leq v\leq m. Karena f berkurang, f(m-1)\geq f(v)\geq f(m). Karena itu, melalui integral dari m-1 sampai dengan m :

\displaystyle f(m)\leq\int_{m-1}^{m}f(v)dv\leq f(m-1).

Pertidaksamaan pada (6) ditemukan dengan penjumlahan untuk m=n_1+1, n_1+2,...,n_2.

Identitas Perkalian Euler

Menyatakan suatu deret penjumlahan tak hingga sebagai deret perkalian tak hingga merupakan implikasi dari teorema yang telah dibuktikan oleh Euler, di mana suatu bilangan natural n bisa dinyatakan dalam cara unik sebagai perkalian bilangan prima p. Dengan kata lain, representasi ini dapat dikatakan sebagai versi analitik dari teorema dasar aritmetika.

Definisi. Untuk n,m\in\mathbb{N} dan g:\mathbb{N}\to\mathbb{C}, g(n) dikatakan multiplikatif jika g(nm)=g(n)g(m) ketika \textup{gcd}(n,m)=1. Sedangkan g(n) dikatakan multiplikatif lengkap jika g(n,m)=g(n)g(m) untuk sebarang n,m\in \mathbb{N}.

Teorema. Untuk g:\mathbb{N}\to\mathbb{C} dan \sum g(n) konvergen mutlak, Identitas Perkalian Euler menyatakan bahwa jika g(n) multiplikatif maka :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\prod_{p}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

dan jika g(n) multiplikatif lengkap maka :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\prod_{p}\left (\frac{1}{1-g(p)} \right ).

Bukti :

Bila diketahui \sum g(n) konvergen mutlak, maka deret \sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) konvergen mutlak untuk masing-masing bilangan prima p karena ini merupakan sub bagian dari deret \sum g(n). Bila didefinisikan

\displaystyle P_k=\prod_{p\leq k}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

di mana deret perkalian bekerja untuk semua bilangan prima kurang dari atau sama dengan k, P_k adalah deret perkalian berhingga dari deret penjumlahan yang konvergen absolut. Maka P_k dapat dinyatakan dalam deret sederhana yang konvergen mutlak di mana bagian-bagian deret yang selain 1 adalah dalam bentuk :

\displaystyle g(p_1^{a_1})g(p_2^{a_2})...g(p_t^{a_t})=g(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t})

dengan p_i\leq k dan a_i > 0 bagi i=1,...,t. Kesamaan ini didasarkan kepada g(n) adalah multiplikatif. Jika G_k\in \mathbb{N} adalah himpunan bilangan natural yang dekompisisi primanya hanya mengandung bilangan prima lebih kecil dari k (termasuk 1) maka :

\displaystyle P_k=\sum_{n\in G_k}g(n).

Sehingga

\displaystyle\left | \sum_{n=1}^{\infty}g(n)-P_k \right |=\left | \sum_{n\notin G_k}g(n) \right |\leq \sum_{n\notin G_k}\left | g(n) \right |\leq \sum_{n\geq k}\left | g(n) \right |

karena n\geq k jika n\notin G_k. Melalui kekonvergenan mutlak dari \sum g(n) maka didapat

\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n\geq k}\left | g(n) \right |=0

dan

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\lim_{k\to\infty}P_k=\prod_{p}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

Jika g(n) multiplikatif lengkap, maka \left | g(p) \right |<1 untuk setiap bilangan prima p sedangkan yang lainnya

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left | g(p^n) \right |=\sum_{n=1}^{\infty}\left | g(p) \right |^n

adalah divergen yang berkontradiksi dengan kekonvergenan mutlak dari \sum g(n). Karena itu untuk setiap bilangan prima p berlaku

\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\left | g(p) \right |^n=\frac{1}{1-g(p)}.