Sifat Analitik Fungsi Kompleks

Limit dan kekontinyuan suatu fungsi pada bidang kompleks dapat digunakan untuk mengetahui sifat analitik dari fungsi kompleks tersebut. Suatu fungsi kompleks f(s) dikatakan mempunyai limit l untuk s mendekati s_0 jika untuk suatu \epsilon > 0 yang diketahui, ada sebuah \delta > 0 sehingga | f(s)-l | < \epsilon kalau 0 < | s-s_0 | < \delta. Dengan cara yang sama, f(s) dikatakan kontinyu di s_0 jika untuk sebuah \epsilon > 0 yang diketahui, ada sebuah \delta > 0 sehingga | f(s)-f(s_0) | < \epsilon kalau | s-s_0 | < \delta. Pilihan lain, f(s) kontinyu di s_0 jika \lim_{s \to s_0} f(s)= f(s_0).

Selanjutnya jika f(s) mempunyai limit untuk s=s_0, maka f(s) dikatakan analitik di s_0. Jika limit tersebut ada untuk semua s pada daerah \mathfrak{R}, maka f(s) dikatakan analitik pada \mathfrak{R}.

Untuk u dan v adalah fungsi riil dari x dan y pada \mathfrak{R}, syarat perlu agar f(s)=u(x,y)+iv(x,y) analitik pada \mathfrak{R} ialah bahwa u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann, yaitu :

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Bukti :

Karena f(s)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y), kita mempunyai :

\displaystyle f(s+\Delta s)=f(x+\Delta x+i(y+\Delta y))=u(x+\Delta x,y+\Delta y)+iv(x+\Delta x,y+\Delta y)

Maka :

\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(s+\Delta s)-f(s)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x,\Delta y \to 0}\frac{u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)+i(v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y))}{\Delta x+i\Delta y}

Jika \Delta y = 0, limit yang diinginkan adalah :

\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x} = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}

Jika \Delta x = 0, limit yang diinginkan adalah :

\displaystyle\lim_{\Delta y \to 0}\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{i\Delta y}+\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y} = \frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}

Jika turunan tersebut ada maka kedua limit khusus ini ada, yaitu :

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}= \frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}

Sehingga :

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, dan \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Sebaliknya jika turunan parsial pertama dari u dan v terhadap x dan y keduanya kontinyu pada \mathfrak{R}, maka persamaan Cauchy-Riemann adalah syarat cukup agar f(s) analitik pada \mathfrak{R}.

Selanjutnya, jika f(s) analitik di dalam daerah yang dibatasi kurva tertutup C dan juga pada C, Teorema Cauchy menyatakan bahwa :

\displaystyle\int_{C}f(s)ds=\oint_{C}f(s)ds=0

dimana integral yang kedua menyatakan bahwa C adalah kurva tertutup sederhana. Artinya bahwa nilai integral tidak bergantung pada lintasan, misalnya yang menghubungkan s_1 dan s_2.

Jika a suatu titik interior di C, maka integral Cauchy menyatakan :

\displaystyle f(s)=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(s)}{(s-a)}ds

dimana C dijalani dalam arah postif (berlawanan dengan arah jarum jam). Juga turunan ke-n dari f(s) di s=a ditentukan oleh :

\displaystyle f^n(a)=\frac{n!}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(s)}{(s-a)^{n+1}}ds

Jika f(s) mempunyai suatu kutub berorde n di s = a, tetapi analitik di setiap titik lainnya di dalam dan pada suatu lingkaran C yang berpusat di a, maka (s-a)^nf(s) analitik di semua titik di dalam dan pada C dan mempunyai suatu deret Taylor di sekitar s=a :

\displaystyle f(s)=\frac{a_{-n}}{(s-a)^n}+\frac{a_{-n+1}}{(s-a)^{n-1}}+...+\frac{a_{-1}}{(s-a)}+ a_0 +a_1(s-a) + a_2(s-a)^2 +...

Deret baru ini dikenal sebagai Deret Laurent untuk f(s). Bagian

a_0 +a_1(s-a) + a_2(s-a)^2 +...

dinamakan bagian analitik, sedangkan sisanya yang terdiri dari pangkat negatif dari (s-a) dinamakan bagian utama. Lebih umum, deret :

\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(s-a)^k

adalah suatu deret Laurent dimana suku-suku dengan k < 0 menyatakan bagian utamanya. Koefisien pada persamaan di atas dapat diperoeh dengan cara biasa yaitu menuliskan koefisen untuk deret Taylor yang berkaitan dengan (s-a)^nf(s). Dalam pengembangan selanjutnya, koefisien a_{-1}, yang dinamakan residu f(s) di kutub s=a akan memegang peranan penting. Ini dapat dihitung dengan rumus :

\displaystyle a_{-1}=\lim_{s\to a}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}(s-a)^nf(s)

dimana n adalah tingkat dari kutub tersebut. Untuk kutub sederhana, perhitungan residunya dapat disederhanakan karena dapat direduksi menjadi :

\displaystyle a_{-1}=\lim_{s\to a}(s-a)f(s)

Teorema Residu

Jika f(s) analitik dalam suatu daerah \mathfrak{R} untuk suatu kutub berorde n pada s=a dan jika C suatu kurva tertutup sederhana dalam \mathfrak{R} yang memuat s=a, maka f(s) memenuhi deret Laurent, mengakibatkan :

\displaystyle\oint_{C}f(s)ds=2\pi ia_{-1},

yaitu integral f(s) di sekeliling suatu lintasan tertutup yang memuat suatu kutub tunggal f(s) adalah 2\pi i dikalikan dengan residu di kutub tersebut. Lebih umum dinyatakan dalam teorema Residu berikut :

Jika f(s) analitik di dalam dan pada batas C dari suatu daerah \mathfrak{R} kecuali pada sejumlah berhingga kutub a, b, c, ... di dalam \mathfrak{R} yang berturut-turut memiliki residu a_{-1}, b_{-1}, c_{-1}, ..., maka :

\displaystyle\oint_{C}f(s)ds=2\pi i(a_{-1} + b_{-1} + c_{-1} + ...)

yaitu integral f(s) adalah 2\pi i dikalikan dengan jumlah residu f(s) di kutub-kutub yang teramati oleh C.

One thought on “Sifat Analitik Fungsi Kompleks

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s