Teorema Cauchy pada himpunan terbuka

Jika fungsi kompleks f(s) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana C, Teorema Cauchy menyatakan :

\displaystyle\int_{c}f(s)ds=0

Corollary. Untuk suatu himpunan terbuka T pada \mathbb{C}, dimisalkan T \subseteq \mathbb{C} dan f_n:T \to \mathbb{C} adalah urutan dari sejumlah n fungsi analitik pada T yang konvergen, berpasangan terhadap bayangan titik pada \mathbb{C} melalui fungsi f:T \to \mathbb{C}. Jika f_n \to f seragam di setiap subset padat dari T, maka f analtik dan f'_n \to f' di T.

Bukti :

Jika U terbuka danTeorema Cauchy terpenuhi untuk setiap kurva tertutup sederhana C yang terdapat pada U. Untuk s_0 \in T dan G(s_0)\subset T merupakan daerah terbuka di sekitar s_0 dengan G(s_0)\subseteq T. Menurut hipotesis f_n \to f seragam di G(s_0), jadi untuk \epsilon > 0 terdapat N sedemikian sehingga \left | f(s)-f_n(s) \right |<\epsilon untuk setiap n \geq N dan s\in G(s_0). Karena itu untuk setiap lintasan tertutup sederhana C yang terdapat pada G(s_0) dan untuk setiap n\geq N berlaku

\displaystyle\left | \int_{C}f(s)ds-\int_{C}f_n(s)ds \right |=\left | \int_{C}f(s)-f_n(s)ds \right |\leq\epsilon L

di mana L adalah panjang C. Ini menyebabkan

\displaystyle\int_{C}f(s)ds=\lim_{n\to\infty}\int_{C}f_n(s)ds=0

karena \int_{C}f_n(s)ds=0 menurut teorema Cauchy jadi f adalah analitik di G(s_0) dan juga di T. Melalui formula integral Cauchy diperoleh :

\displaystyle f'(s_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial G(s_0)}\frac{f(s)}{(s-s_0)^2}ds

dan

\displaystyle f'_n(s_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial G(s_0)}\frac{f_n(s)}{(s-s_0)^2}ds

di mana \partial G(s_0) adalah batas dari G(s_0) dengan arah positif. Karena itu,

\displaystyle\left | f'(s_0)- f'_n(s_0) \right |\leq \left | \frac{1}{2\pi i} \int_{C}\frac{f(s)-f_n(s)}{(s-s_0)^2}ds\right |\leq\frac{\epsilon}{R}

untuk setiap n\geq N di mana R adalah jari-jari dari \partial G(s_0) karena

\displaystyle\left | \frac{f(s)-f_n(s)}{(s-s_0)^2}\right |\leq\frac{\epsilon}{R^2}

yang dari sini terbukti bahwa f'_n(s_0) \to f'(s_0).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s