Identitas Perkalian Euler

Menyatakan suatu deret penjumlahan tak hingga sebagai deret perkalian tak hingga merupakan implikasi dari teorema yang telah dibuktikan oleh Euler, di mana suatu bilangan natural n bisa dinyatakan dalam cara unik sebagai perkalian bilangan prima p. Dengan kata lain, representasi ini dapat dikatakan sebagai versi analitik dari teorema dasar aritmetika.

Definisi. Untuk n,m\in\mathbb{N} dan g:\mathbb{N}\to\mathbb{C}, g(n) dikatakan multiplikatif jika g(nm)=g(n)g(m) ketika \textup{gcd}(n,m)=1. Sedangkan g(n) dikatakan multiplikatif lengkap jika g(n,m)=g(n)g(m) untuk sebarang n,m\in \mathbb{N}.

Teorema. Untuk g:\mathbb{N}\to\mathbb{C} dan \sum g(n) konvergen mutlak, Identitas Perkalian Euler menyatakan bahwa jika g(n) multiplikatif maka :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\prod_{p}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

dan jika g(n) multiplikatif lengkap maka :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\prod_{p}\left (\frac{1}{1-g(p)} \right ).

Bukti :

Bila diketahui \sum g(n) konvergen mutlak, maka deret \sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) konvergen mutlak untuk masing-masing bilangan prima p karena ini merupakan sub bagian dari deret \sum g(n). Bila didefinisikan

\displaystyle P_k=\prod_{p\leq k}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

di mana deret perkalian bekerja untuk semua bilangan prima kurang dari atau sama dengan k, P_k adalah deret perkalian berhingga dari deret penjumlahan yang konvergen absolut. Maka P_k dapat dinyatakan dalam deret sederhana yang konvergen mutlak di mana bagian-bagian deret yang selain 1 adalah dalam bentuk :

\displaystyle g(p_1^{a_1})g(p_2^{a_2})...g(p_t^{a_t})=g(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t})

dengan p_i\leq k dan a_i > 0 bagi i=1,...,t. Kesamaan ini didasarkan kepada g(n) adalah multiplikatif. Jika G_k\in \mathbb{N} adalah himpunan bilangan natural yang dekompisisi primanya hanya mengandung bilangan prima lebih kecil dari k (termasuk 1) maka :

\displaystyle P_k=\sum_{n\in G_k}g(n).

Sehingga

\displaystyle\left | \sum_{n=1}^{\infty}g(n)-P_k \right |=\left | \sum_{n\notin G_k}g(n) \right |\leq \sum_{n\notin G_k}\left | g(n) \right |\leq \sum_{n\geq k}\left | g(n) \right |

karena n\geq k jika n\notin G_k. Melalui kekonvergenan mutlak dari \sum g(n) maka didapat

\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum_{n\geq k}\left | g(n) \right |=0

dan

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g(n)=\lim_{k\to\infty}P_k=\prod_{p}\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n) \right )

Jika g(n) multiplikatif lengkap, maka \left | g(p) \right |<1 untuk setiap bilangan prima p sedangkan yang lainnya

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left | g(p^n) \right |=\sum_{n=1}^{\infty}\left | g(p) \right |^n

adalah divergen yang berkontradiksi dengan kekonvergenan mutlak dari \sum g(n). Karena itu untuk setiap bilangan prima p berlaku

\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}g(p^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\left | g(p) \right |^n=\frac{1}{1-g(p)}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s