Identitas Abel

Kaitan antara deret penjumlahan dan integral merupakan hal yang sangat penting dalam teori bilangan analitik. Teorema berikut menjelaskan kaitan tersebut.

Teorema.  Untuk suatu fungsi g:\mathbb{N}\to\mathbb{C} dan didefinisikan G(x)=\sum_{n\leq x}g(n) jika x\geq 1, dan 0 jika yang lainnya, dan untuk 0<y<x terdapat suatu fungsi f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} yang turunannya kontinyu di \left [ y,x \right ]. Identitas Abel menyatakan bahwa :

\displaystyle\sum_{y<n\leq x}g(n)f(n)=G(x)f(x)-G(y)f(y)-\int_{y}^{x}G(v)f'(v)dv.~~~~~(1)

Bukti :

Untuk \left [x \right ] bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x,

\begin{array}{lcl}  \displaystyle  \sum_{y<n\leq x}g(n)f(n)  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}g(n)f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}\left ( G(n)-G(n-1) \right )f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n)f(n)-\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n-1)f(n) \\  &=&\displaystyle\sum_{n=[y]+1}^{[x]}G(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1}G(n)f(n+1) \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\sum_{n=[y+1]}^{[x]-1}G(n)(f(n+1)-f(n)) \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1}\int_{n}^{n+1}G(n)f'(v)dv \\  &=&\displaystyle G([x])f([x])-G([y])f([y]+1) \\ &~& \displaystyle -\int_{[y]+1}^{[x]}G(v)f'(v)dv~~~~~(2)  \end{array}

dimana melalui :

\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{[x]}^{x}G(v)f'(v)dv &=& \displaystyle G([x])\int_{[x]}^{x}f'(v)dv \\ &=& \displaystyle G(x)f(x)-G([x])f([x]) \end{array}

dan

\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{y}^{[y]+1}G(v)f'(v)dv &=& \displaystyle G([y])\int_{y}^{[y]+1}f'(v)dv \\ &=& \displaystyle G([y])f([y]+1)-G(y)f(y). \end{array}

untuk G([x])f([x]) dan G([y])f([y+1]) di (2) maka didapat persamaan (1) di teorema tadi.

Corollary. Jika f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} mempunyai turunan kontinyu di [y,x], dan 0<y<x, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{y<n\leq x}f(n) \\ &=& \displaystyle \int_{y}^{x}f(v)dv+\int_{y}^{x}\left ( v-[v] \right )f'(v)dv \\ &~& \displaystyle +f(x)\left ( [x]-x \right )-f(y)\left ( [y]-y \right )~~~~~(3)\end{array}

Bukti :

Dengan menerapkan identitas Abel, dengan g(n)=1 yang mengakibatkan G(x)=[x] maka :

\displaystyle\sum_{y<n\leq x}f(n)=f(x)[x]-f(y)[y]-\int_{y}^{x}[v]f'(v)dv~~~~~(4)

dan melalui integral :

\displaystyle\int_{y}^{x}f(v)dv=xf(x)-yf(y)-\int_{y}^{x}vf'(v)dv~~~~~(5)

Mengurangkan (5) dari (4) dapat ditemukan persamaan (3).

Lema. Bila n_1<n_2 bilangan bulat, dan f:[n_1,n_2]\to[0,\infty) adalah kontinyu dan berkurang secara tetap maka :

\displaystyle\sum_{n=n_1+1}^{n_2}f(n)\leq\int_{n_1}^{n_2}f(v)dv\leq\sum_{n=n_1}^{n_2-1}f(n).~~~~~(6)

Bukti :

Ambilah bilangan bulat m dimana n_1<m\leq n_2 dan untuk v\in\mathbb{R} berlaku m-1\leq v\leq m. Karena f berkurang, f(m-1)\geq f(v)\geq f(m). Karena itu, melalui integral dari m-1 sampai dengan m :

\displaystyle f(m)\leq\int_{m-1}^{m}f(v)dv\leq f(m-1).

Pertidaksamaan pada (6) ditemukan dengan penjumlahan untuk m=n_1+1, n_1+2,...,n_2.

One thought on “Identitas Abel

  1. Pingback: Deret Dirichlet dan kekonvergenannya « matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s