Deret Dirichlet dan kekonvergenannya

Definisi. Untuk bilangan kompleks s\in\mathbb{C}, bilangan natural n\in\mathbb{N} dan \delta:\mathbb{N}\to\mathbb{C}, suatu deret Dirichlet didefiniskan sebagai :

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\delta(n)}{n^s}

Untuk notasi bilangan kompleks yang digunakan pada tulisan ini sama seperti di posting sebelumnya, yaitu s=\alpha+i\beta dimana \alpha,\beta\in\mathbb{R} dan begitu pula bila ditulis s_0 maka artinya adalah s_0=\alpha_0+i\beta_0.

Lema. Untuk apabila terdapat s_0\in\mathbb{C} dan \gamma\in\mathbb{R} sedemikian sehingga

\displaystyle\left | \sum_{n\leq x}\frac{\delta(n)}{n^{s_0}} \right |\leq\gamma

untuk semua x\geq 1 dan semua s\in\mathbb{C} dengan \alpha >\alpha_0 dan a,b\in\mathbb{N} dengan 0<a<b maka berlaku pertidaksamaan berikut :

\displaystyle\left | \sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |\leq\frac{2\gamma}{a^{\alpha-\alpha_0}}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{\alpha-\alpha_0} \right )

Bukti :

Dengan menggunakan identitas Abel dengan g(n)=\delta(n)/n^{s_0} terhadap f(n)=1/n^{s-s_0}=n^{s_0-s}, dimana G(x) dalam hal ini adalah G(x)=\sum_{n\leq x}\delta(n)/n^{s_0}, maka diperoleh :

\displaystyle\sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s}=G(b)b^{s_0-s}-G(a)a^{s_0-s}-(s_0-s)\int_{a}^{b}G(\beta)\beta^{s_0-s-1}d\beta.

Karena itu,

\begin{array}{lcl}\displaystyle\left | \sum_{a<n\leq b}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |  &\leq&\displaystyle\gamma b^{\alpha_0-\alpha}+\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\left | \int_{a}^{b}(s_0-s)G(\beta)\beta^{s_0-s-1}d\beta \right | \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\int_{a}^{b}|s_0-s||G(\beta)|\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+|s_0-s|\gamma\int_{a}^{b}\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+|s_0-s|\gamma\int_{a}^{\infty}\beta^{\alpha_0-\alpha-1}d\beta \\  &=&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}+\frac{\gamma |s_0-s|(-a^{\alpha_0-\alpha})}{(\alpha_0-\alpha)} \\  &=&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{2(\alpha-\alpha_0)} \right ) \\  &\leq&\displaystyle 2\gamma a^{\alpha_0-\alpha}\left ( 1+\frac{|s-s_0|}{(\alpha-\alpha_0)} \right )  \end{array}.

Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa untuk setiap deret Dirichlet yang konvergen di beberapa s\in\mathbb{C} terdapat setengah bidang \textit{Re}(s)>\alpha_j yang disana deret konvergen.

Teorema. Untuk setiap deret Dirichlet terdapat \alpha_j,\alpha_k\in\mathbb{R} dengan -\infty\leq\alpha_j\leq\alpha_k\leq\infty sedemikian sehingga :

(1) Deret Dirichlet konvergen jika \alpha > \alpha_j dan divergen jika \alpha < \alpha_j.

(2) Deret Dirichlet konvergen absolut jika \alpha > \alpha_k dan tidak jika \alpha < \alpha_k.

(3) \alpha_k-\alpha_j \leq 1.

Bukti :

Bila deret Dirichlet divergen di semua bidang dimana \alpha_j=\alpha_k=\infty dan jika konvergen di semua bidang dimana \alpha_j=\alpha_k=-\infty. Misalnya kedua kasus tersebut tidak dipenuhi dan diambil s_0 dimana deret Dirichlet konvergen dan s\in\mathbb{C} dengan \alpha > \alpha_0. Melalui Lema tadi dan untuk b_1,b_2\in\mathbb{N} dengan 0<b_1<b_2, maka

\displaystyle\left | \sum_{n=1}^{b_2}\frac{\delta(n)}{n^s}-\sum_{n=1}^{b_1}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\left | \sum_{b_1<n\leq b_2}\frac{\delta(n)}{n^s} \right |\leq\frac{B}{b_1^{\alpha-\alpha_0}}

dimana B tidak bergantung pada b_1 dan b_2. Karena itu, bila \lim_{b_1\to\infty}1/b_1^{\alpha-\alpha_0}=0, maka deret jumlah parsialnya adalah deret Cauchy sehingga deret Dirichlet \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen. Sehingga berikutnya adalah mencari untuk \alpha_j yang dapat dinyatakan sebagai himpunan :

\displaystyle\alpha_j=\textup{inf}\left \{ \alpha\in\mathbb{R}|\sum\delta(n)/n^{\alpha}~~\textup{konvergen} \right \}.

yang memiliki batas karena deret \sum\delta(n)/n^s tidak konvergen untuk semua bidang \mathbb{C}.

Untuk kasus \alpha > \alpha_0+1, karena \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen, maka \lim_{n\to\infty}\delta(n)/n^{s_0}=0, sehingga terdapat suatu \gamma\in\mathbb{R} sedemikian sehingga |\delta(n)/n^{s_0}|\leq\gamma untuk semua n. Ini menyebabkan |\delta(n)|\leq\gamma n^{\alpha_0}, dan juga

\displaystyle\left | \frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\frac{|\delta(n)|}{n^s}\leq \frac{\gamma n^{\alpha_0}}{n^\alpha}=\frac{\gamma}{n^{\alpha-\alpha_0}}

dengan \alpha-\alpha_0 > 1. Hal ini menunjukan bahwa deret Dirichlet \sum\delta(n)/n^s konvergen absolut karena \sum\gamma/n^{\alpha-\alpha_0} adalah konvergen.

Demikian juga untuk membuktikan Teorema bagian (2), jika \sum\delta(n)/n^{s_0} konvergen absolut, maka \sum\delta(n)/n^s juga konvergen absolut dengan \alpha > \alpha_0,

\displaystyle\left | \frac{\delta(n)}{n^s} \right |=\frac{|\delta(n)|}{n^\alpha}\leq \frac{|\delta(n)|}{n^{\alpha_0}}=\left |\frac{\delta(n)}{n^{s_0}}\right |

Karena itu, batas yang diambil dapat dinyatakan sebagai :

\displaystyle\alpha_k=\textup{inf}\left \{ \alpha\in\mathbb{R}|\sum\delta(n)/n^{\alpha}~~\textup{konvergen absolut} \right \}

dan teorema bagian (2) terbukti. Sedangkan bagian (3) dapat dibuktikan dari kekonvergenan pada s_0 yang menyebabkan kekonvergenan absolut pada s untuk semua s\in\mathbb{C} dengan \alpha > \alpha_0+1.

Teorema di atas telah menunjukan batas-batas \alpha di mana kekonvergenan deret Dirichlet terjadi pada setengah bidang \textit{Re}(s)=\alpha >\alpha_j yang disana deret dapat dinyatakan sebagai fungsi bervariabel kompleks s :

\displaystyle D(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\delta(n)}{n^s}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s