Fungsi Weierstrass

Teorema D. Fungsi Weierstrass adalah fungsi kontinyu dalam bentuk

\displaystyle W(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a^k\cos (b^k\pi x),

pada 0 < a < 1, ab \geq 1 dan b > 1, dan tidak dapat didiferensialkan di mana pun pada \mathbb{R}.

Bukti :

(1) Kontinuitas : 0 < a < 1 menyebabkan \sum_{k=0}^{\infty} a^k = \frac{1}{1-a} < \infty. (2) Uji M-Weierstrass (pada Teorema B) menyebabkan \sup_{x\in\mathbb{R}}\left |a^n\cos(b^n\pi x)\right | \leq a^n menjadi \sum_{k=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x) konvergen seragam terhadap W(x) pada \mathbb{R}.

Kontinuitas W karena itu merupakan implikasi dari kekonvergenan seragam deret fungsi (pada Teorema A s.d. C); yaitu (Corollary) : Jika f_k : T \to\mathbb{R} adalah fungsi kontinyu untuk setiap k\in\mathbb{N} dan \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x) konvergen seragam terhadap D(x) pada T, maka D adalah fungsi kontinyu pada T.

Dimisalkan untuk sebarang bilangan riil dan bilangan asli, yaitu berturut-turut x_0 \in\mathbb{R} dan m\in\mathbb{N}, dan untuk \alpha_m \in\mathbb{Z} sedemikian sehingga b^mx_0-\alpha_m \in \left ( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] dan x_{m+1}=b^mx_0-\alpha_m.

\displaystyle y_m=\frac{\alpha_m-1}{b^m}~~~ dan \displaystyle ~~~z_m=\frac{\alpha_m+1}{b^m},

keduanya menghasilkan pertidaksamaan :

\displaystyle y_m-x_0=-\frac{1+x_{m+1}}{b^m} < 0 < \frac{1-x_{m+1}}{b^m} = z_m-x_0.

Karena itu y_m < x_0 < z_m. Saat m\to\infty, y_m\to x_0 dari kiri, dan z_m \to x_0 dari kanan.

Selisih pembagi pada bagian kiri,

\begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0} &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a^n\frac{\cos (b^n\pi y_m)-\cos (b^n\pi x_0)}{y_m-x_0} \right ) \\ &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{m-1}\left ( (ab)^n\frac{\cos (b^n\pi y_m)-\cos (b^n\pi x_0)}{b^n(y_m-x_0)} \right ) \\ &~& \displaystyle + \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a^{m+n}\frac{\cos (b^{m+n}\pi y_m)-\cos (b^{m+n}\pi x_0)}{y_m-x_0} \right ) \\ &=& D_1+D_2. \end{array}

Untuk jumlah deret pada D_1, karena \left |\frac{\sin x}{x}\right | \leq 1, identitas trigonometri dapat digunakan untuk menentukan batas-batasnya :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \left |D_1\right | &=& \displaystyle \left | \sum_{n=0}^{m-1}(ab)^n(-\pi)\sin\left (\frac{b^n\pi (y_m+x_0)}{2} \right ) \frac{\sin\left ( \frac{b^n\pi (y_m-x_0)}{2} \right )}{b^n\pi\frac{y_m-x_0}{2}} \right | \\ &\leq & \displaystyle\sum_{n=0}^{m-1} \pi (ab)^n = \frac{\pi((ab)^m - 1)}{ab-1} \leq \frac{\pi (ab)^m}{ab-1}.~~~~~(D.1) \end{array}

Untuk jumlah deret pada D_2, karena b > 1 bilangan bulat ganjil dan \alpha_m \in\mathbb{Z}, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi y_m) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m-1}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi (\alpha_m-1)) \\ &=& \displaystyle \left [(-1)^{b^n}\right ]^{\alpha_m-1} \\ &=& \displaystyle -(-1)^{\alpha_m} \end{array}

dan

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi x_0) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m + x_{m+1}}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi \alpha_m)\cos (b^n\pi x_{m+1}) - \sin (b^n\pi\alpha_m)\sin (b^n\pi x_{m+1}) \\ &=& \displaystyle \left [(-1)^{b^n}\right ]^{\alpha_m} \cos (b^n\pi x_{m+1})-0 \\ &=& \displaystyle (-1)^{\alpha_m} \cos (b^n\pi x_{m+1}), \end{array}

sehingga jumlah deret D_2 dapat ditulis dalam bentuk :

\begin{array}{lcl} \displaystyle D_2 &=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a^{m+n}\frac{-(-1)^{\alpha_m}-(-1)^{\alpha_m}\cos (b^n\pi x_{m+1})}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} \\ &=& \displaystyle (ab)^m(-1)^{\alpha_m}\sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}. \end{array}

Masing-masing bagian pada deret di atas bernilai tidak negatif dan x_{m+1}\in \left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] sehingga untuk batas bawahnya adalah :

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \geq \frac{1+\cos (\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.~~~~~(D.2)

Pertidaksamaan (D.1) dan (D.2) memastikan jaminan adanya \epsilon_1\in \left [ -1,1 \right ] dan \eta_1 > 1 sedemikian sehingga :

\displaystyle \frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0}=(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\eta_1 \left ( \frac{2}{3}+\epsilon_1\frac{\pi}{ab-1}\right ).

Untuk selisih pembagi pada bagian kanan, yaitu z_m-x_0, menggunakan argumen yang sama dengan pada bagian kiri untuk mendifinisikan batas-batasnya. Langkahnya :

\displaystyle \frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0} = D'_1+D'_2.

dan

\displaystyle \left |D'_1\right | \leq \frac{\pi (ab)^m}{ab-1}. ~~~~~(D'.1)

Karena b ganjil dan \alpha_m \in\mathbb{Z} maka suku kosinus yang mengandung z_m dapat disederhanakan menjadi :

\begin{array}{lcl} \displaystyle \cos (b^{m+n}\pi z_m) &=& \displaystyle \cos \left (b^{m+n}\pi\frac{\alpha_m+1}{b^m} \right ) \\ &=& \displaystyle \cos (b^n\pi (\alpha_m+1)) \\ &=& \left [(-1)^{b^n} \right ]^{\alpha_m+1} \\ &=& \displaystyle -(-1)^{\alpha_m} \end{array}

yang menghasilkan :

\begin{array}{lcl} \displaystyle D'_2 &=& \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^{m+n}\frac{-(-1)^{\alpha_m}-(-1)^{\alpha_m} \cos (b^n \pi x_{m+1})}{\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} \\ &=& \displaystyle -(ab)^m(-1)^{\alpha_m}\sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}. \end{array}

Batas bawah untuk jumlah deret tersebut :

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a^n\frac{1+\cos (b^n\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \geq \frac {1+\cos (\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \geq \frac{1}{1-\left (-\frac{1}{2} \right )} = \frac{2}{3}.~~~~~(D'.2)

Melalui argumen yang sama dengan analisis pada selisih pembagi pada bagian kiri, tetapi dengan menggunakan pertidaksamaan pada (D'.1) dan (D'.2), maka terdapat \epsilon_2 \in \left [-1,1 \right ] dan \eta_2 > 1 sedemikian sehingga :

\displaystyle \frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0}=-(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\eta_2 \left ( \frac{2}{3}+\epsilon_2\frac{\pi}{ab-1}\right ).

Melalui asumsi ab > 1+\frac{3}{2}\pi, yang ekuivalen dengan \frac{\pi}{ab-1}< \frac{2}{3}, nilai selisih pada pembagi bagian kiri dan kanan mempunyai tanda yang berbeda. Juga karena (ab)^m\to\infty saat m\to\infty maka jelaslah bahwa W tidak memiliki derivatif di titik x_0. Karena x_0\in \mathbb{R} dapat dipilih sebarang sehingga W(x) tidak dapat didiferensialkan di mana pun pada \mathbb{R}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s