Bentuk Pecahan Berkelanjutan zeta(3) dan Keirasionalannya

Hal lain yang menarik dari fenomena keirasionalan pada konstanta Apéry \zeta (3) adalah ketika ia dinyatakan dalam bentuk continued fraction, ia bersifat periodik. Misalnya seperti ini :

\displaystyle\eta\zeta (3)=\frac{1}{Y_1-\displaystyle\frac{1^6}{Y_2-\displaystyle\frac{2^6}{Y_3- \displaystyle\frac{3^6}{Y_4-\displaystyle\frac{4^6}{\ddots -\displaystyle\frac{\ddots}{Y_n-\displaystyle\frac{n^6}{Y_{n+1}-\ddots}}}}}}}

Untuk \eta = 1, Y_n=(n-1)^3+n^3=(2n-1)(n^2-n+1)=1, 9, 35, 91, ....

Apéry menemukan versi cepatnya, yaitu dengan faktor penyebut parsial pada fraksi ke-n bersesuaian dengan bilangan :

Y_n=34n^3-51n^2+27n-5=(2n-1)(17n^2-17n+5)=5,117,535,1436,3105,...

yaitu dengan \eta=\frac{1}{6}, dimana Y_n ini (diklaim, diharapkan) mematuhi formula rekursif seperti ini :

(n+1)^3W_{n+1}-Y_nW_n+n^3W_{n-1}=0,

dengan W_n bilangan tertentu.

Maka perlu diperiksa juga apakah barisan x_n dan y_n pada Lemma 2, mematuhi formula rekursif ini. Dengan kata lain – dari sudut pandang rekursivitasnya pada bentuk pecahan berkelanjutan \zeta (3), apakah kecepatan konvergensi \frac{x_n}{y_n} sebaik \zeta (3), yang pada gilirannya ini dapat memberikan informasi tentang seberapa cepat \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3), yang telah kita cukupkan persyaratannya di Lemma 2.

Namun, bila diteropong, dengan alat faktor pembagi parsial Y_n dari Apéry tadi tampaknya hal tersebut tidak dapat dibuktikan, paling tidak, sulit, secara langsung. (Tapi Prof. Apéry telah meyakininya, dan mengklaim dengan pembicaraan dalam bahasa Perancis). Henri Cohen, Hendrik Lestra, dan Alfred van der Poorten mendiskusikan ini selama hampir 2 bulan tanpa hasil. Berikutnya ada kemajuan dari Don Bernhard Zagier, yang menemukan langkah krusial pada formula rekursif ini untuk kasus \zeta (2), dimana berikutnya oleh Cohen (1979) digunakan pada kasus \zeta (3). Refresentasi pecahan berkelanjutan pada \zeta (3) menjadi :

\displaystyle\zeta (3)=\frac{6}{5}-\frac{1}{117-\displaystyle\frac{64}{535-\displaystyle\frac{729}{1436- \displaystyle\frac{4096}{3105-\displaystyle\frac{\ddots}{\ddots -\displaystyle\frac{n^6}{34n^3+51n^2+27n+5- \ddots}}}}}}

dengan faktor pembagi sekarang menjadi Y_n=34n^3+51n^2+27n+5.

Untuk tujuan di atas, kita mendefiniskan dua bilangan W_{n,k} dan Y_{n,k} pada batas 0\leq k\leq n, sebagai berikut :

\displaystyle W_{n,k}=\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2=\frac{n!^2}{k!^2(n-k)!^2}\frac{(n+k)!^2}{k!^2n!^2}=\frac{(n+k)!^2}{k!^4(n-k)!^2}

dan

\displaystyle Y_{n,k}=4(2n+1)(2k^2+k-(2n+1)^2)W_{n,k},

yang keduanya akan digunakan pada, katakanlah, Lemma 3 berikut ini :

Lemma 3. Untuk n\in\mathbb{N}, jika Y_n=34n^3+51n^2+27n+5 maka barisan tak hingga (x_n) dan (y_n) mematuhi formula rekursif : (n+1)^3W_{n+1}-Y_nW_n+n^3W_{n-1}=0.

Bukti :

\displaystyle Y_{n,k}-Y_{n,k-1}=(n+1)^3W_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}+n^3W_{n-1,k}~~~~~(K.1)

Dengan menjumlahkannya pada k=0,1,2,...,n+1, yaitu :

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\left ( Y_{n,k}-Y_{n,k-1}\right )=\sum_{k=0}^{n+1}\left ( (n+1)^3W_{n+1,k}- Y_nW_{n,k}+n^3W_{n-1,k}\right ),

yang berarti :

\displaystyle Y_{n,n+1}-Y_{n,-1}=(n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k} - Y_n\sum_{k=0}^{n+1}W_{n,k}+n^3\sum_ {k=0}^{n+1}W_{n-1,k},

dan karena \binom{n}{k}=0 jika n<k atau k<0, maka :

\displaystyle 0=(n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k} - Y_n\sum_{k=0}^{n}W_{n,k} + n^3\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}.

Tetapi,

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2\binom{n+1+k}{k}^2=y_{n+1},

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}W_{n,k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2=y_{n},

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}^2\binom{n-1+k}{k}^2=y_{n-1}.

Jadi,

\displaystyle 0=(n+1)^3y_{n+1}-Y_ny_n+n^3y_{n-1},

dan… O mirabile dictu! y_n mematuhi formula rekursif tadi, yang berarti membuktikan setengah dari Lemma 3.

Untuk mencari tahu apakah x_n juga mematuhi formula rekursif ini, kita akan memanggil kembali barisan bilangan yang berperan sebagai faktor pembagi di Lemma 2, yaitu z_{n,k} , untuk menjalankan misi berikut ini :

\displaystyle z_{n,k}-z_{n,k-1}=\frac{(-1)^{k-1}}{2k^3\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}},

dan untuk 1\leq k\leq n, diperoleh :

\displaystyle z_{n,k}-z_{n-1,k}=\frac{(-1)^{k}k!^2(n-k-1)!}{n^2(n+k)!},~~~~~(K.2)

Dan untuk misi itu kita konstruksi definisi berikut :

\displaystyle Z_{n,k}=(n+1)^3W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}z_{n,k}+n^3W_{n-1,k}z_{n-1,k}~~~~~(K.3)

\displaystyle X_{n,k}=Y_{n,k}z_{n,k}+\frac{5(-1)^{k-1}k(2n+1)}{n(n+1)}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}~~~~~(K.4)

dimana diperoleh identitas :

\displaystyle Z_{n,k}=X_{n,k}-X_{n,k-1},

dan jika identitas tersebut dijumlahkan pada k=0,1,2,...,n+1, menghasilkan :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}Z_{n,k}=X_{n,n+1}-X_{n,-1}=0,

dan dengan mensubstitusikan definisi Z_{n,k}, diperoleh :

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\left ( (n+1)^3W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}z_{n,k}+n^3W_{n-1,k}z_{n-1,k}\right )=0.

Dan karena W_{n,k}=0 jika k>n, maka :

\displaystyle (n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_n\sum_{k=0}^{n} W_{n,k}z_{n,k} + n^3\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}z_{n-1,k}=0.

Tetapi :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n}W_{n,k}z_{n,k}=x_n

Sehingga :

\displaystyle (n+1)^3x_{n+1}-Y_nx_n+n^3x_{n-1}=0

yang menunjukan bahwa x_n juga mematuhi formula rekursif pada Lemma 3.

Kriteria Keirasionalan dalam Notasi O Besar

Dengan kriteria keirasionalan pada tulisan sebelumnya, akan dilihat sifat-sifat barisan asli n tak hingga dari (x_n) dan (y_n) pada saat \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, dan juga seberapa cepat dia menuju 0 pada saat n menuju \infty.

Barisan ini dapat juga dilihat dengan menggunakan notasi O besar, salah satu anggota dari keluarga besar notasi Landau yang beradaptasi dengan simbol dari Vinogradov sehingga disebut juga notasi Landau-Vinogradov. Notasi O besar ini menyatakan bahwa, sebagai misal, f(u) = O(g(u)) equivalen dengan f(u)\ll g(u) untuk beberapa fungsi g(u)\geq 0, jika limit dari nilai supremum \frac{|f(u)|}{g(u)} tertutup ketika u mendekati \infty. Atau dapat ditulis:

\displaystyle\lim_{u\to\infty}\textup{sup}\frac{|f(u)|}{g(u)}~~~~\textup{tertutup,}

dalam arti, terdapat beberapa konstanta C\geq 0 sehingga |f(u)|\leq Cg(u) untuk u cukup besar.

Sehingga melalui pengertian notasi O besar ini, dalam bahasa lain, kriteria keirasionalan yang sudah ditulis itu menjadi seperti ini :

\displaystyle\left | a-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}.

Untuk itu kita akan mencari tahu nilai dari a=\frac{x_n}{y_n} yang memenuhi kriteria keirasionalan ini. Fakta lain yang cukup mengejutkan bahwa \frac{x_n}{y_n} menuju ke nilai tertentu yang bersesuaian dengan Konstanta Zeta dari Fungsi Zeta Riemann \zeta (s) ketika s=3, yaitu :

\displaystyle\zeta (3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...=1.2020569...

Roger Apéry di tahun 1978, menunjukan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) secepat kira-kira \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, yaitu dengan membuat refresentasi lain dari \zeta (3) menjadi :

\displaystyle\zeta (3)=\frac{5}2{}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}},

yang dari situ Apéry kemudian membuktikan bahwa \zeta (3) adalah irasional.

Untuk melihat fenomena yang menarik ini, di sini kita akan menggunakan notasi O besar beserta dengan kriteria keirasionalan yang telah ditulis sebelumnya. Namun juga sebelumnya perlu dicatat, bahwa pendekatan yang diterima dari Apéry ini belum cukup akurat memberikan informasi tentang kecepatan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) yang diperlukan untuk \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, namun ia penting sebagai syarat yang diperlukan (necessary conditions) agar lemma tentang kriteria keirasionalan (sebut saja Lemma 1) terpenuhi.

Untuk itu melalui batas pada bilangan bulat 0\leq k\leq n, kita akan mendefiniskan barisan z_{n,k}, yaitu:

\displaystyle z_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{n}},

yang berperan sebagai faktor (quotien) dari x_n dan y_n yang didefiniskan sebagai berikut :

\displaystyle x_n=\sum_{k=0}^{n}z_{n,k}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2~~~\textup{dan}~~~ y_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2.

Definsi dari ketiga barisan di atas muncul secara alami dari fakta berikut ini, yang bisa kita sebut sebagai Lemma 2, dari serangkaian bukti dari Teorema Apéry yang menarik itu.

Lemma 2:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\zeta (3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}

Bukti : 

\begin{array}{lcl}\displaystyle x_n &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{n}z_{n,k}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\\&=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left ( \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}} \right )\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\\&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2 \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\\&=&\displaystyle y_n\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}~~~~~(1)\end{array}.

Bila 1\leq m\leq n diperoleh :

\displaystyle \binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\geq \binom{n}{1}\binom{n+1}{1}=n(n+1)\geq n^2.

Sehingga,

\displaystyle \frac{1}{\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\leq \frac{1}{n^2}.

Karena itu :

\displaystyle \sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\leq\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{n^2}.\frac{\frac{1}{2}(-1)^{m-1}}{m^3}\leq\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}.

Dan untuk k\to\infty, kita ketahui bahwa :

\displaystyle \sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\to\zeta (3)\approx 1.2020569

Dan, katakanlah, nilai dari

\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\leq 2\frac{1}{n^2},

yaitu :

\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\ll \frac{1}{n^2},

yang bila digabungkan dengan (1), dan melalui notasi O besar, diperoleh :

\displaystyle x_n=y_n\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+O\left ( \frac{y_n}{n^2} \right), ~~~~~~(2)

dimana :

\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}=\zeta(3)-\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}.

Melalui uji integral, kita tahu bahwa :

\displaystyle \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}\leq\int_{n}^{\infty}\frac{1}{v^3}dv=\frac{-1}{2v^2}|_n^{\infty}=\frac{1}{2n^2}\ll\frac{1}{n^2},

sehingga bila hasil ini digabungkan dengan (2) diperoleh :

\displaystyle x_n=y_n\left ( \zeta(3)-\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3} \right ) + O\left ( \frac{y_n}{n^2} \right ),

atau dalam pernyataan lain :

\displaystyle \frac{x_n}{y_n}-\zeta(3)=O\left ( \frac{1}{n^2} \right )+O\left ( \frac{1}{n^2} \right )\ll \frac{1}{n^2}\to 0.

Sehingga, dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa :

\displaystyle \frac{x_n}{y_n}\to\zeta(3),

dan limit pada Lemma 2 terpenuhi.

Ukuran dan Kriteria Keirasionalan

Definisi. Ukuran Keirasionalan suatu bilangan a mengukur seberapa irasional bilangan tersebut, atau mengukur seberapa baik bilangan tersebut diaproksimasi oleh bilangan rasional. Ia juga disebut konstanta Liouville-Roth atau pangkat keirasionalan dari a, atau ditulis \mu (a), dan merupakan supremum dari bilangan rill \mu sehingga :

\displaystyle 0<\left | a-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{q^\mu}

terpenuhi, melalui pasangan bilangan bulat coprime (p,q) yang tak hingga banyaknya.

Kriteria Keirasionalan. Untuk z,\varepsilon > 0 dan bernilai tetap, dan p,q relatif prima, jika terdapat pasangan coprime (p,q) yang tak terhingga banyaknya pada bentuk :

\displaystyle\left | a-\frac{p}{q} \right |<\frac{z}{q^{1+\varepsilon}},

maka a irasional.

Bukti :

Jika a rasional akan dibuktikan bahwa hanya terdapat pasangan coprime (p,q) yang berhingga banyaknya yang memenuhi pertidaksamaan di atas. Untuk a=\frac{x}{y} dimana x dan y relatif prima dan y>0, maka untuk \frac{p}{q}\neq a diperoleh pertidaksamaan berikut :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\frac{z}{q^{1+\varepsilon }}&>&\displaystyle\left | a-\frac{p}{q} \right |\\&=& \displaystyle\left | \frac{x}{y}-\frac{p}{q} \right |\\&=&\displaystyle\left | \frac{xq-yp}{yq} \right |\\&\geq&\displaystyle\frac{1}{yq}\end{array}

Maka q<(zy)^{\frac{1}{\varepsilon}}. Jadi hanya ada sejumlah kemungkinan nilai bagi q yang jumlahnya berhingga. Dan untuk banyaknya kemungkinan nilai p harus diperiksa juga. Misalnya untuk pecahan dalam bentuk \frac{p+r}{q}, dengan r variabel bilangan bulat, dan pecahan demikian memenuhi kriteria kerasionalan yang dihipotesiskan maka melalui pertidaksamaan segitiga berikut :

\displaystyle\frac{|r|}{q}=\left | \frac{r}{q}+\frac{p}{q}-\frac{x}{y}-\frac{p}{q}+\frac{x}{y}\right |\leq \left | \frac{p+r}{q}-\frac{x}{y}\right |+\left | \frac{p}{q}-\frac{x}{y} \right |<\frac{2z}{q^{1+\varepsilon}}

diperoleh |r|<2zq^{-\varepsilon}\leq 2z, sehingga paling baik r dibatasi oleh -2[z]+1\leq r\leq 2[z]-1. Maka untuk sembarang nilai q yang berhingga jumlahnya terdapat paling banyak 4[z]-1 nilai p yang memenuhi hipotesis tadi. Jadi hanya ada sejumlah pasangan coprime (p,q) yang berhingga jumlahnya jika a rasional.