Kriteria Keirasionalan dalam Notasi O Besar

Dengan kriteria keirasionalan pada tulisan sebelumnya, akan dilihat sifat-sifat barisan asli n tak hingga dari (x_n) dan (y_n) pada saat \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, dan juga seberapa cepat dia menuju 0 pada saat n menuju \infty.

Barisan ini dapat juga dilihat dengan menggunakan notasi O besar, salah satu anggota dari keluarga besar notasi Landau yang beradaptasi dengan simbol dari Vinogradov sehingga disebut juga notasi Landau-Vinogradov. Notasi O besar ini menyatakan bahwa, sebagai misal, f(u) = O(g(u)) equivalen dengan f(u)\ll g(u) untuk beberapa fungsi g(u)\geq 0, jika limit dari nilai supremum \frac{|f(u)|}{g(u)} tertutup ketika u mendekati \infty. Atau dapat ditulis:

\displaystyle\lim_{u\to\infty}\textup{sup}\frac{|f(u)|}{g(u)}~~~~\textup{tertutup,}

dalam arti, terdapat beberapa konstanta C\geq 0 sehingga |f(u)|\leq Cg(u) untuk u cukup besar.

Sehingga melalui pengertian notasi O besar ini, dalam bahasa lain, kriteria keirasionalan yang sudah ditulis itu menjadi seperti ini :

\displaystyle\left | a-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}.

Untuk itu kita akan mencari tahu nilai dari a=\frac{x_n}{y_n} yang memenuhi kriteria keirasionalan ini. Fakta lain yang cukup mengejutkan bahwa \frac{x_n}{y_n} menuju ke nilai tertentu yang bersesuaian dengan Konstanta Zeta dari Fungsi Zeta Riemann \zeta (s) ketika s=3, yaitu :

\displaystyle\zeta (3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...=1.2020569...

Roger Apéry di tahun 1978, menunjukan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) secepat kira-kira \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, yaitu dengan membuat refresentasi lain dari \zeta (3) menjadi :

\displaystyle\zeta (3)=\frac{5}2{}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}},

yang dari situ Apéry kemudian membuktikan bahwa \zeta (3) adalah irasional.

Untuk melihat fenomena yang menarik ini, di sini kita akan menggunakan notasi O besar beserta dengan kriteria keirasionalan yang telah ditulis sebelumnya. Namun juga sebelumnya perlu dicatat, bahwa pendekatan yang diterima dari Apéry ini belum cukup akurat memberikan informasi tentang kecepatan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) yang diperlukan untuk \frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}\to 0, namun ia penting sebagai syarat yang diperlukan (necessary conditions) agar lemma tentang kriteria keirasionalan (sebut saja Lemma 1) terpenuhi.

Untuk itu melalui batas pada bilangan bulat 0\leq k\leq n, kita akan mendefiniskan barisan z_{n,k}, yaitu:

\displaystyle z_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{n}},

yang berperan sebagai faktor (quotien) dari x_n dan y_n yang didefiniskan sebagai berikut :

\displaystyle x_n=\sum_{k=0}^{n}z_{n,k}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2~~~\textup{dan}~~~ y_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2.

Definsi dari ketiga barisan di atas muncul secara alami dari fakta berikut ini, yang bisa kita sebut sebagai Lemma 2, dari serangkaian bukti dari Teorema Apéry yang menarik itu.

Lemma 2:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\zeta (3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}

Bukti : 

\begin{array}{lcl}\displaystyle x_n &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{n}z_{n,k}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\\&=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left ( \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}} \right )\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\\&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2 \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\\&=&\displaystyle y_n\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}~~~~~(1)\end{array}.

Bila 1\leq m\leq n diperoleh :

\displaystyle \binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\geq \binom{n}{1}\binom{n+1}{1}=n(n+1)\geq n^2.

Sehingga,

\displaystyle \frac{1}{\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\leq \frac{1}{n^2}.

Karena itu :

\displaystyle \sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\leq\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{n^2}.\frac{\frac{1}{2}(-1)^{m-1}}{m^3}\leq\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}.

Dan untuk k\to\infty, kita ketahui bahwa :

\displaystyle \sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\to\zeta (3)\approx 1.2020569

Dan, katakanlah, nilai dari

\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\leq 2\frac{1}{n^2},

yaitu :

\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m^3}\ll \frac{1}{n^2},

yang bila digabungkan dengan (1), dan melalui notasi O besar, diperoleh :

\displaystyle x_n=y_n\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+O\left ( \frac{y_n}{n^2} \right), ~~~~~~(2)

dimana :

\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}=\zeta(3)-\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}.

Melalui uji integral, kita tahu bahwa :

\displaystyle \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}\leq\int_{n}^{\infty}\frac{1}{v^3}dv=\frac{-1}{2v^2}|_n^{\infty}=\frac{1}{2n^2}\ll\frac{1}{n^2},

sehingga bila hasil ini digabungkan dengan (2) diperoleh :

\displaystyle x_n=y_n\left ( \zeta(3)-\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3} \right ) + O\left ( \frac{y_n}{n^2} \right ),

atau dalam pernyataan lain :

\displaystyle \frac{x_n}{y_n}-\zeta(3)=O\left ( \frac{1}{n^2} \right )+O\left ( \frac{1}{n^2} \right )\ll \frac{1}{n^2}\to 0.

Sehingga, dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa :

\displaystyle \frac{x_n}{y_n}\to\zeta(3),

dan limit pada Lemma 2 terpenuhi.

3 thoughts on “Kriteria Keirasionalan dalam Notasi O Besar

  1. Pingback: Pendekatan Rasional terhadap ln (phi) | matematika-ku

  2. Pingback: Zona Numeris pada Konstanta Apéry « matematika-ku

  3. Pingback: Bentuk Pecahan Berkelanjutan zeta(3) dan Keirasionalannya « matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s