Bentuk Pecahan Berkelanjutan zeta(3) dan Keirasionalannya

Hal lain yang menarik dari fenomena keirasionalan pada konstanta Apéry \zeta (3) adalah ketika ia dinyatakan dalam bentuk continued fraction, ia bersifat periodik. Misalnya seperti ini :

\displaystyle\eta\zeta (3)=\frac{1}{Y_1-\displaystyle\frac{1^6}{Y_2-\displaystyle\frac{2^6}{Y_3- \displaystyle\frac{3^6}{Y_4-\displaystyle\frac{4^6}{\ddots -\displaystyle\frac{\ddots}{Y_n-\displaystyle\frac{n^6}{Y_{n+1}-\ddots}}}}}}}

Untuk \eta = 1, Y_n=(n-1)^3+n^3=(2n-1)(n^2-n+1)=1, 9, 35, 91, ....

Apéry menemukan versi cepatnya, yaitu dengan faktor penyebut parsial pada fraksi ke-n bersesuaian dengan bilangan :

Y_n=34n^3-51n^2+27n-5=(2n-1)(17n^2-17n+5)=5,117,535,1436,3105,...

yaitu dengan \eta=\frac{1}{6}, dimana Y_n ini (diklaim, diharapkan) mematuhi formula rekursif seperti ini :

(n+1)^3W_{n+1}-Y_nW_n+n^3W_{n-1}=0,

dengan W_n bilangan tertentu.

Maka perlu diperiksa juga apakah barisan x_n dan y_n pada Lemma 2, mematuhi formula rekursif ini. Dengan kata lain – dari sudut pandang rekursivitasnya pada bentuk pecahan berkelanjutan \zeta (3), apakah kecepatan konvergensi \frac{x_n}{y_n} sebaik \zeta (3), yang pada gilirannya ini dapat memberikan informasi tentang seberapa cepat \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3), yang telah kita cukupkan persyaratannya di Lemma 2.

Namun, bila diteropong, dengan alat faktor pembagi parsial Y_n dari Apéry tadi tampaknya hal tersebut tidak dapat dibuktikan, paling tidak, sulit, secara langsung. (Tapi Prof. Apéry telah meyakininya, dan mengklaim dengan pembicaraan dalam bahasa Perancis). Henri Cohen, Hendrik Lestra, dan Alfred van der Poorten mendiskusikan ini selama hampir 2 bulan tanpa hasil. Berikutnya ada kemajuan dari Don Bernhard Zagier, yang menemukan langkah krusial pada formula rekursif ini untuk kasus \zeta (2), dimana berikutnya oleh Cohen (1979) digunakan pada kasus \zeta (3). Refresentasi pecahan berkelanjutan pada \zeta (3) menjadi :

\displaystyle\zeta (3)=\frac{6}{5}-\frac{1}{117-\displaystyle\frac{64}{535-\displaystyle\frac{729}{1436- \displaystyle\frac{4096}{3105-\displaystyle\frac{\ddots}{\ddots -\displaystyle\frac{n^6}{34n^3+51n^2+27n+5- \ddots}}}}}}

dengan faktor pembagi sekarang menjadi Y_n=34n^3+51n^2+27n+5.

Untuk tujuan di atas, kita mendefiniskan dua bilangan W_{n,k} dan Y_{n,k} pada batas 0\leq k\leq n, sebagai berikut :

\displaystyle W_{n,k}=\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2=\frac{n!^2}{k!^2(n-k)!^2}\frac{(n+k)!^2}{k!^2n!^2}=\frac{(n+k)!^2}{k!^4(n-k)!^2}

dan

\displaystyle Y_{n,k}=4(2n+1)(2k^2+k-(2n+1)^2)W_{n,k},

yang keduanya akan digunakan pada, katakanlah, Lemma 3 berikut ini :

Lemma 3. Untuk n\in\mathbb{N}, jika Y_n=34n^3+51n^2+27n+5 maka barisan tak hingga (x_n) dan (y_n) mematuhi formula rekursif : (n+1)^3W_{n+1}-Y_nW_n+n^3W_{n-1}=0.

Bukti :

\displaystyle Y_{n,k}-Y_{n,k-1}=(n+1)^3W_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}+n^3W_{n-1,k}~~~~~(K.1)

Dengan menjumlahkannya pada k=0,1,2,...,n+1, yaitu :

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\left ( Y_{n,k}-Y_{n,k-1}\right )=\sum_{k=0}^{n+1}\left ( (n+1)^3W_{n+1,k}- Y_nW_{n,k}+n^3W_{n-1,k}\right ),

yang berarti :

\displaystyle Y_{n,n+1}-Y_{n,-1}=(n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k} - Y_n\sum_{k=0}^{n+1}W_{n,k}+n^3\sum_ {k=0}^{n+1}W_{n-1,k},

dan karena \binom{n}{k}=0 jika n<k atau k<0, maka :

\displaystyle 0=(n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k} - Y_n\sum_{k=0}^{n}W_{n,k} + n^3\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}.

Tetapi,

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2\binom{n+1+k}{k}^2=y_{n+1},

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}W_{n,k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2=y_{n},

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}^2\binom{n-1+k}{k}^2=y_{n-1}.

Jadi,

\displaystyle 0=(n+1)^3y_{n+1}-Y_ny_n+n^3y_{n-1},

dan… O mirabile dictu! y_n mematuhi formula rekursif tadi, yang berarti membuktikan setengah dari Lemma 3.

Untuk mencari tahu apakah x_n juga mematuhi formula rekursif ini, kita akan memanggil kembali barisan bilangan yang berperan sebagai faktor pembagi di Lemma 2, yaitu z_{n,k} , untuk menjalankan misi berikut ini :

\displaystyle z_{n,k}-z_{n,k-1}=\frac{(-1)^{k-1}}{2k^3\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}},

dan untuk 1\leq k\leq n, diperoleh :

\displaystyle z_{n,k}-z_{n-1,k}=\frac{(-1)^{k}k!^2(n-k-1)!}{n^2(n+k)!},~~~~~(K.2)

Dan untuk misi itu kita konstruksi definisi berikut :

\displaystyle Z_{n,k}=(n+1)^3W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}z_{n,k}+n^3W_{n-1,k}z_{n-1,k}~~~~~(K.3)

\displaystyle X_{n,k}=Y_{n,k}z_{n,k}+\frac{5(-1)^{k-1}k(2n+1)}{n(n+1)}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}~~~~~(K.4)

dimana diperoleh identitas :

\displaystyle Z_{n,k}=X_{n,k}-X_{n,k-1},

dan jika identitas tersebut dijumlahkan pada k=0,1,2,...,n+1, menghasilkan :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}Z_{n,k}=X_{n,n+1}-X_{n,-1}=0,

dan dengan mensubstitusikan definisi Z_{n,k}, diperoleh :

\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\left ( (n+1)^3W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_nW_{n,k}z_{n,k}+n^3W_{n-1,k}z_{n-1,k}\right )=0.

Dan karena W_{n,k}=0 jika k>n, maka :

\displaystyle (n+1)^3\sum_{k=0}^{n+1}W_{n+1,k}z_{n+1,k}-Y_n\sum_{k=0}^{n} W_{n,k}z_{n,k} + n^3\sum_{k=0}^{n-1}W_{n-1,k}z_{n-1,k}=0.

Tetapi :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n}W_{n,k}z_{n,k}=x_n

Sehingga :

\displaystyle (n+1)^3x_{n+1}-Y_nx_n+n^3x_{n-1}=0

yang menunjukan bahwa x_n juga mematuhi formula rekursif pada Lemma 3.

2 thoughts on “Bentuk Pecahan Berkelanjutan zeta(3) dan Keirasionalannya

  1. Pingback: Beberapa Latihan Keirasionalan – Akhir Pekan « matematika-ku

  2. Pingback: Zona Numeris pada Konstanta Apéry « matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s