Beberapa Latihan Keirasionalan – Akhir Pekan

1. Buktikan klaim yang menakjubkan berikut ini :

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_1a_2a_3...a_{k-1}}{(x+a_1)...(x+a_k)}=\frac{1}{x}

\displaystyle \sum_{k=1}^{K}\frac{a_1a_2a_3...a_{k-1}}{(x+a_1)...(x+a_k)}=\frac{1}{x}-\frac {a_1a_2a_3...a_K}{x(x+a_1)...(x+a_K)}

2. Buktikan klaim (K.1) pada tulisan sebelumnya ekuivalen dengan :

\displaystyle(n+1)^3\frac{W_{n+1,k}}{W_{n,k}}-Y_n+n^3\frac{W_{n-1,k}}{W_{n,k}}

\displaystyle =4(2n+1)(2k^2+k-(2n+1)^2)-4(2n+1)(2(k-1)^2+k-1- (2n+1)^2)\frac{W_{n,k-1}}{W_{n,k}}

dimana :

\displaystyle\frac{W_{n+1,k}}{W_{n,k}}=\frac{(n+k+1)^2}{(n-k+1)^2},~~~\frac{W_{n-1,k}}{W_ {n,k}}=\frac{(n-k)^2}{(n+k)^2},~~~\frac{W_{n,k-1}}{W_{n,k}}=\frac{k^4}{(n+k)^2(n-k+1)^2}

Buktikan klaim (K.2) pada tulisan tersebut benar untuk semua k < n. Ambilah (k+1) diperoleh :

\displaystyle Z_{n,k+1}-Z_{n-1,k+1}=Z_{n,k}-Z_{n-1,k}+U_{n,k}

dengan :

\displaystyle U_{n,k}=\frac{(-1)^k}{2(k+1)^3\binom{n}{k+1}\binom{n+k+1}{k+1}}-\frac{(-1)^k}{2(k+1)^3\binom {n-1}{k+1}\binom{n+k}{k+1}}

Buktikan identitas pada (K.4) didapat dari (K.3).

3. Buktikan klaim (K.5) pada tulisan sebelumnya dengan identitas berikut:

\displaystyle \textup{ord}_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left [\frac{n}{p^k}\right ]

\displaystyle \textup{ord}_p\left (\binom{n}{m}\right )=\textup{ord}_p\left (\frac{n!}{m!(n-m)!} \right )

4. Alih-alih menggunakan estimasi y_n=O(a^n), dengan a=(1+\sqrt{2})^4 Henri Cohen telah menghitung estimasi y_n lebih presisi lagi dengan formula berikut ini :

\displaystyle y_n=\frac{(1+\sqrt{2})^2}{(2\pi\sqrt{2})^{3/2}} \frac{(1+\sqrt{2})^{4n}}{n^{3/2}}\left ( 1- \frac{48-15\sqrt{2}}{64n}+O(n^{-2})\right )

Buktikan formula estimasi dari Cohen tersebut.

Advertisements

Konstanta Apéry dan Teorema Bilangan Prima

Nilai estimasi pada tulisan sebelumnya : a^n\ll y_n\ll a^n, atau y_n=O(a^n) dengan a=(1+\sqrt{2})^4, memberikan gambaran pertumbuhan quasi-geometrik pada \frac{x_n}{y_n}, yang berarti kekonvergenan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) tidak terlalu cepat menurut pertumbuhan geometrik, tapi katakanlah ini terjadi dalam jangka panjang. Dan juga kita tahu dari tulisan sebelumnya (y_n) adalah barisan bilangan bulat, tapi bagaimana dengan (x_n)? Belum begitu mujur untuk dikatakan bahwa x_n\in\mathbb{Z}, karena dengan melihat pada faktor z_{n,k} memungkinkan kekonvergenan tadi dapat terjadi sangat cepat. Untuk itu, pertama kita harus memperlambat laju pertumbuhan (x_n) dengan mencari faktor pengali yang tepat, katakanlah \gamma_n, yang apabila x_n dan y_n dikalikan dengannya, kita bisa mensyaratkan perlu berlakunya relasi berikut :

\displaystyle\left |\zeta (3)-\frac{\gamma_nx_n}{\gamma_ny_n}\right |\ll\frac{1}{(\gamma_ny_n)^{1+\varepsilon}}

Dengan melihat kembali definisi x_n dan z_{n,k}, faktor pengali \gamma_n ini tampaknya bersesuaian dengan kuantitas 2m^3 yang ada pada penyebut, sehingga nilai paling baik dari bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari [1,2,...,n]^3. Karena 2m^3, jadi yang bersesuaian adalah 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3. Untuk itu kita akan membuktikan Lemma berikut ini.

Lemma 6 (Keirasionalan \zeta (3) dan Teorema Bilangan Prima).

Untuk sembarang \delta>0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga :

\textup{kpk}[1,2,...,n]\leq\textup{exp}((1+\delta)n)~~~~~\forall n>N

Bukti : 

Jika p adalah bilangan prima yang habis membagi \textup{kpk}[1,2,...,n] maka p\leq n, dan sebaliknya jika p\leq n untuk beberapa p bilangan prima, maka p habis membagi \textup{kpk}[1,2,...,n]. Dengan kata lain, p\left|\right.\textup{kpk}[1,2,...,n] jika dan hanya jika p\leq n, atau dapat ditulis:

\displaystyle\textup{kpk}[1,2,...,n]=\prod_{p\leq n}p^{e_p}

dimana p^{e_p}\leq n<p^{e_p+1} atau ditulis :

\displaystyle e_p\leq\frac{\log n}{\log p}<e_p+1

Karena e_p\in \mathbb{Z}, maka ini ekuivalen dengan :

\displaystyle e_p=\left [\frac{\log n}{\log p}\right ].

Dengan kata lain ini merupakan orde perkalian atau multiplicative order pada \textup{kpk}[1,2,...,n] dengan modulo p, atau ditulis :

\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]) =\left [\frac{\log n}{\log p}\right ].

Jadi,

\begin{array}{lcl}\displaystyle\textup{kpk}[1,2,...,n]&=&\displaystyle\prod_{p\leq n}p^{\left [ \frac{\log n}{\log p}\right ]}\\ &\leq& \displaystyle\prod_{p\leq n}p^{\frac{\log n}{\log p}} \\ &=& \displaystyle\prod_{p\leq n}n \\ &=& \displaystyle n^{\pi(n)} \end{array}

dimana \pi (n) adalah fungsi yang mengitung banyaknya bilangan prima p\leq n, atau disebut prime counting function, yang menyatakan bahwa untuk sembarang \delta >0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika n>N maka :

\displaystyle\pi(n)\leq\frac{n}{\log n}+\delta.

Jadi, untuk semua n > N maka :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\log (\textup{kpk}[1,2,...,n])&=&\displaystyle\pi(n)\log n \\ &\leq& \displaystyle\frac{n}{\log n}\log n+\delta\log n \\ &\leq&\displaystyle n+\delta n \\ &=&\displaystyle (1+\delta)n \end{array}

atau dengan kata lain :

\textup{kpk}[1,2,...,n]\leq\textup{exp}((1+\delta)n).

Yang membuktikan Lemma 6 tadi. Selanjutnya kita memerlukan bentuk seperti ini :

\displaystyle\gamma_ny_n\ll a^{\frac{2n}{(1+\varepsilon)}}

untuk beberapa \varepsilon > 0 tetap, sehingga  jika kita ambil \gamma_n=2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3 maka \gamma_ny_n adalah bilangan bulat. Untuk itu diperlukan Lemma berikut ini.

Lemma 7. Untuk bilangan bulat 0\leq k\leq n, maka

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}z_{n,k}\in\mathbb{Z}

Bukti :

Panggil z_{n,k} :

\displaystyle z_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n +m}{m}}

Kita akan menunjukan bahwa dua bilangan berikut ini :

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}\frac{1}{m^3}

dan

\displaystyle\frac{2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}

adalah dua bilangan bulat pada kisaran 1\leq m\leq n, maka jumlah keduanya pada kisaran tersebut akan juga merupakan bilangan bulat yang disyaratkan.

Yang pertama dari kedua bilangan tadi jelaslah bilangan bulat, karena jika m\leq n maka :

m^3\left | \right.\textup{kpk}[1,2,...,n]^3.

Tapi bilangan kedua sedikit trivial, kita akan mencari sembarang bilangan prima yang membagi pembilang lebih banyak daripada ia membagi penyebut. Jika penyebut pada bilangan kedua ditulis seperti ini :

\displaystyle m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}

dan dapat dicatat bahwa :

\displaystyle\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}=\binom{k}{m}\binom{n+k}{k-m}^{-1}

dan karena :

\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]) =\left [\frac{\log n}{\log p}\right ],

Juga dapat dicatat bahwa :

\displaystyle\textup{ord}_p\left (\binom{n}{m}\right ) \leq \textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n])-\textup{ord}_p(m),~~~~~(K.5)

sehingga untuk m\leq k\leq n maka :

\displaystyle\textup{ord}_p\left ( m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}\right )

\displaystyle = \textup{ord}_p\left ( m^3\binom{n}{m}\binom{k}{m}\binom{n+k}{k-m}^{-1}\right )

\displaystyle = 3\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p\left (\binom{n}{m}\right )+\textup{ord}_p\left ( \binom{k}{m}\right )-\textup{ord}_p\left (\binom{n+k}{k-m}\right )

\displaystyle\leq 3\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p(\textup {kpk}[1,2,...,n])-\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,k])-\textup{ord}_p(m)

\displaystyle = \textup{ord}_p(m)+\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]+\left [\frac{\log k}{\log p}\right ]

\displaystyle\leq 3\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]

Jika dilihat pada pembilang bilangan tadi, didapat :

\displaystyle\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]^3)=3\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]

sehingga ini merupakan sembarang bilangan prima yang membagi pembilang pada bilangan kedua tadi paling sedikit sesering ia membagi penyebutnya. Atau dengan kata lain, bilangan yang kedua tadi adalah bilangan bulat.

Jadi,

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}z_{n,k}

adalah jumlah dari dua bilangan bulat, karena itu ia juga merupakan bilangan bulat.

Dengan ini maka dapat dirumuskan Teorema Apéry sebagai berikut :

Teorema Apéry\zeta (3) adalah bilangan irasional.

Bukti:

Melalui kriteria keirasionalan, terdapat barisan pasangan n coprime tak hingga dari (p_n) dan (q_n), dengan p_n,q_n\in\mathbb{Z}, sedemikian sehingga untuk \varepsilon > 0, diperoleh :

\displaystyle\left | \zeta (3)-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}.

Dengan p_n dan q_n sebagai berikut :

\displaystyle p_n=2 \textup{kpk}[1,2,3,...,n]^3x_n, ~~~~~ q_n=2 \textup{kpk}[1,2,3,...,n]^3y_n

Untuk sembarang \delta >0 terdapat N bilangan asli sedemikian sehingga jika n > N, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle q_n&=&2\textup{kpk}[1,,2,3,...,n]^3y_n \\ &\ll& \displaystyle a^n\textup{exp}((3+\delta)n)\\&=& \displaystyle a^n a^{\frac{(3+\delta)n}{\log a}}\\&=& \displaystyle a^{n\left ( 1+\frac{3+\delta}{\log a} \right )}\\&=& \displaystyle a^{2n\left ( \frac{\log a + 3 +\delta}{2\log a} \right )}\\ &\ll& \displaystyle a^{\frac{2n}{1+\varepsilon}}\end{array}

dimana :

\displaystyle 1+\varepsilon=\frac{2\log a}{\log a+3+\delta}

dan \delta adalah parameter penyimpangan \pi (n) untuk n cukup besar. Dengan a=(1+\sqrt{2})^4, ambilah misalnya \delta=\frac{1}{2}, diperoleh :

\displaystyle\varepsilon=\frac{2\log a-7}{2\log a+7}= 0.003628833... > 0

Dengan \delta=\frac{1}{3}, diperoleh :

\displaystyle\varepsilon=\frac{3\log a-10}{3\log a+10}= 0.028016597... > 0

Dan ketika n\to\infty, dengan \delta=0, maka :

\displaystyle\varepsilon=\frac{\log a-3}{\log a+3}= 0.080529431... > 0

Karena itu :

\displaystyle \left | \zeta (3)-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{a^{2n}}\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}

Jadi, \zeta (3) adalah irasional.

Zona Numeris pada Konstanta Apéry

Formula rekursif dari Apéry sangat baik menggambarkan bukti empiris (numerik) bahwa \zeta (3) adalah irasional.

Dari formula rekursif Y_n pada tulisan sebelumnya, dapat dicatat bahwa :

Y_{n-1}=-Y_{-n}=34n^3-51n^2+27n-5,

Sehingga formula rekursif untuk x_n dan y_n menjadi seperti ini :

\displaystyle\left\{\begin{matrix}n^3x_n-Y_{n-1}x_{n-1}+(n-1)^3x_{n-2}=0 & (P.1)\\ n^3y_n-Y_{n-1}y_{n-1}+(n-1)^3y_{n-2}=0 & (P.2)\end{matrix}\right.

yang berlaku untuk semua n\geq 2.

Permasalahan pada tulisan ini adalah untuk menjamin bahwa kekonvergenan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) tidak terlalu cepat, untuk bisa membuktikan bahwa \zeta (3) adalah irasional. Untuk itu perlu ditentukan batasan-batasan numeris agar kriteria keirasionalan terpenuhi. Lebih jelasnya, kita akan mencari tahu nilai eksak untuk a=\frac{x_n}{y_n}, serta pertumbuhan dari x_n dan y_n agar a konvergen tidak terlalu cepat, paling tidak ia konvergen dalam jangka panjang (disebut pertumbuhan quasi-geometrik).

Selanjutnya harus ditunjukkan dua hal berikut : Pertama, jika (y_n) adalah barisan dengan y_0=1, y_1=5 ketika y_n=Y_n untuk semua n, maka y_n harus merupakan barisan bilangan bulat, atau ditulis y_n\in\mathbb{Z}. Kedua, jika x_0=0, x_1=6 ketika x_n=Y_n untuk semua n, maka x_n harus merupakan barisan bilangan bulat juga, x_n\in\mathbb{Z}, dengan penyebut pada x_n membagi dua kali kelipatan persekutan terkecil (kpk) dari [1,2,...,n]^3 atau ditulis 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3 (angka ini bersesuaian dengan faktor 2m^3 pada penyebut z_{n,k}, yang akan dilihat nanti). Hal yang kedua ini ada kaitannya dengan Teorema Bilangan Prima dan perlu penjelasan tersendiri.

Pada tulisan ini akan difokuskan untuk menguji hal yang pertama. Untuk itu diperlukan Lemma.

Lemma 4. Melalui notasi O besar kita akan membuktikan :

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\textup{sup}~y_n^2\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |~~\textup{Tertutup}

yang berarti bahwa :

\displaystyle\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\ll\frac{1}{y_n^2}.

Bukti :

Jika (P.1) dikalikan dengan y_{n-1} dan (P.2) dengan x_{n-1}, dan mengurangkan yang kedua dari yang pertama, diperoleh :

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )+(n-1)^3\left ( x_{n-2}y_{n-1}-y_{n-2}x_{n-1}\right )=0,

atau dalam pernyataan lain,

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=(n-1)^3\left ( x_{n-1}y_{n-2}-x_{n-2}y_{n-1}\right )

yang berarti ketika n\mapsto (n-1), maka :

(n-1)^3\left ( x_{n-1}y_{n-2}-y_{n-1}x_{n-2}\right )=(n-2)^3\left ( x_{n-2}y_{n-3}-x_{n-3}y_{n-2}\right )

Dengan memproses ini secara induktif untuk semua k<n, terdapat :

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=(n-k)^3\left ( x_{n-k}y_{n-k-1}-x_{n-k-1}y_{n-k}\right ).

Pada kasus k=n-1 didapatkan identitas berikut :

\displaystyle n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=x_1y_0-x_0y_1

atau

\displaystyle x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}=\frac{1}{n^3}\left ( x_1y_0-x_0y_1\right ).

Ini dapat diuji dengan x_0=0,y_0=1,x_1=6, dan y_1=5 sehingga didapat :

x_1y_0-x_0y_1=6\times 1-0\times5=6.

Karena itu,

\displaystyle x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}=\frac{6}{n^3}~~~~~\forall n\in\mathbb{N}

yang merupakan zona numeris ketika n\mapsto k=(n-1).

Untuk mendapatkan batasan numeris pada penutupnya, pada sembarang bilangan asli n, kita definiskan :

\displaystyle\alpha_n=\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}.

Maka,

\displaystyle\alpha_{n-1}-\alpha_n=\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_{n-1}}{y_{n-1}}=\frac{x_ny_{n-1}-x_{n-1}y_n}{y_{n-1}y_n}=\frac{6}{n^3y_{n-1}y_n}

Dari Lemma 2, karena \alpha_n\to 0, maka ini bisa kita tulis :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}&=&\displaystyle\alpha_n \\ &=&\displaystyle\alpha_n-\alpha_{n+1}+\alpha_{n+1} \\ &=&\displaystyle\alpha_n-\alpha_{n+1}+\alpha_{n+1}-\alpha_{n+2}+\alpha_{n+2}-\alpha_{n+3}+\alpha_{n+3}-...\\ &=&\displaystyle\sum_{m=n+1}^{\infty}\left (\alpha_{m-1}-\alpha_m\right ) \\ &=&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_{m-1}y_m}\end{array}

Jadi (y_n) adalah barisan bilangan bulat n, yang langsung bertambah dengan pertambahan n positif, sehingga ini bisa ditulis :

\begin{array}{lcl}\left |\displaystyle\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}\right |&=&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_{m-1}y_m} \\ &\leq&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_n^2} \end{array}

Dengan kata lain,

\displaystyle y_n^2\left |\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\leq 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}\leq 6\zeta (3)<12

Dan karena itu bisa disimpulkan:

\displaystyle\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\ll\frac{1}{y_n^2}.

Selanjutnya akan ditentukan nilai estimasi pada y_n dan nilai eksak a. Untuk itu diperlukan Lemma berikut ini.

Lemma 5Jika a=(1+\sqrt{2})^4, maka y_n=O(a^n).

Bukti : 

Formula rekursif n^3y_n-Y_{n-1}y_{n-1}+(n-1)^3y_{n-2}=0, bisa digunakan untuk mengestimasi y_n pada suatu laju tertentu secara asimtotik. Dengan menuliskan Y_{n-1} secara eksplisit, dan membagi semua suku dengan n^3y_{n-1}, maka setelah disederhanakan menjadi :

\displaystyle\frac{y_n}{y_{n-1}}-\left ( 34-\frac{51}{n}+\frac{27}{n^2}-\frac{5}{n^3}\right )+\left ( 1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}\right )\frac{y_{n-2}}{y_{n-1}}=0

Untuk \frac{y_{n+1}}{y_n}\to\beta ketika n cukup besar identitas di atas menjadi :

\displaystyle\beta-34+\frac{1}{\beta}=0, atau \displaystyle\beta^2-34\beta+1=0.

Karena (y_n) tumbuh membesar ke arah positif sehingga kita ambil nilai akar positif dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu :

\beta=17+12\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^4=a,

dari situ diperoleh nilai estimasi a^n\ll y_n\ll a^n, atau y_n=O(a^n) yang merupakan pertumbuhan quasi-geometrik karena ia mendekati pertumbuhan geometrik, paling tidak dalam jangka panjang.