Konstanta Apéry dan Teorema Bilangan Prima

Nilai estimasi pada tulisan sebelumnya : a^n\ll y_n\ll a^n, atau y_n=O(a^n) dengan a=(1+\sqrt{2})^4, memberikan gambaran pertumbuhan quasi-geometrik pada \frac{x_n}{y_n}, yang berarti kekonvergenan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) tidak terlalu cepat menurut pertumbuhan geometrik, tapi katakanlah ini terjadi dalam jangka panjang. Dan juga kita tahu dari tulisan sebelumnya (y_n) adalah barisan bilangan bulat, tapi bagaimana dengan (x_n)? Belum begitu mujur untuk dikatakan bahwa x_n\in\mathbb{Z}, karena dengan melihat pada faktor z_{n,k} memungkinkan kekonvergenan tadi dapat terjadi sangat cepat. Untuk itu, pertama kita harus memperlambat laju pertumbuhan (x_n) dengan mencari faktor pengali yang tepat, katakanlah \gamma_n, yang apabila x_n dan y_n dikalikan dengannya, kita bisa mensyaratkan perlu berlakunya relasi berikut :

\displaystyle\left |\zeta (3)-\frac{\gamma_nx_n}{\gamma_ny_n}\right |\ll\frac{1}{(\gamma_ny_n)^{1+\varepsilon}}

Dengan melihat kembali definisi x_n dan z_{n,k}, faktor pengali \gamma_n ini tampaknya bersesuaian dengan kuantitas 2m^3 yang ada pada penyebut, sehingga nilai paling baik dari bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari [1,2,...,n]^3. Karena 2m^3, jadi yang bersesuaian adalah 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3. Untuk itu kita akan membuktikan Lemma berikut ini.

Lemma 6 (Keirasionalan \zeta (3) dan Teorema Bilangan Prima).

Untuk sembarang \delta>0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga :

\textup{kpk}[1,2,...,n]\leq\textup{exp}((1+\delta)n)~~~~~\forall n>N

Bukti : 

Jika p adalah bilangan prima yang habis membagi \textup{kpk}[1,2,...,n] maka p\leq n, dan sebaliknya jika p\leq n untuk beberapa p bilangan prima, maka p habis membagi \textup{kpk}[1,2,...,n]. Dengan kata lain, p\left|\right.\textup{kpk}[1,2,...,n] jika dan hanya jika p\leq n, atau dapat ditulis:

\displaystyle\textup{kpk}[1,2,...,n]=\prod_{p\leq n}p^{e_p}

dimana p^{e_p}\leq n<p^{e_p+1} atau ditulis :

\displaystyle e_p\leq\frac{\log n}{\log p}<e_p+1

Karena e_p\in \mathbb{Z}, maka ini ekuivalen dengan :

\displaystyle e_p=\left [\frac{\log n}{\log p}\right ].

Dengan kata lain ini merupakan orde perkalian atau multiplicative order pada \textup{kpk}[1,2,...,n] dengan modulo p, atau ditulis :

\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]) =\left [\frac{\log n}{\log p}\right ].

Jadi,

\begin{array}{lcl}\displaystyle\textup{kpk}[1,2,...,n]&=&\displaystyle\prod_{p\leq n}p^{\left [ \frac{\log n}{\log p}\right ]}\\ &\leq& \displaystyle\prod_{p\leq n}p^{\frac{\log n}{\log p}} \\ &=& \displaystyle\prod_{p\leq n}n \\ &=& \displaystyle n^{\pi(n)} \end{array}

dimana \pi (n) adalah fungsi yang mengitung banyaknya bilangan prima p\leq n, atau disebut prime counting function, yang menyatakan bahwa untuk sembarang \delta >0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika n>N maka :

\displaystyle\pi(n)\leq\frac{n}{\log n}+\delta.

Jadi, untuk semua n > N maka :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\log (\textup{kpk}[1,2,...,n])&=&\displaystyle\pi(n)\log n \\ &\leq& \displaystyle\frac{n}{\log n}\log n+\delta\log n \\ &\leq&\displaystyle n+\delta n \\ &=&\displaystyle (1+\delta)n \end{array}

atau dengan kata lain :

\textup{kpk}[1,2,...,n]\leq\textup{exp}((1+\delta)n).

Yang membuktikan Lemma 6 tadi. Selanjutnya kita memerlukan bentuk seperti ini :

\displaystyle\gamma_ny_n\ll a^{\frac{2n}{(1+\varepsilon)}}

untuk beberapa \varepsilon > 0 tetap, sehingga  jika kita ambil \gamma_n=2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3 maka \gamma_ny_n adalah bilangan bulat. Untuk itu diperlukan Lemma berikut ini.

Lemma 7. Untuk bilangan bulat 0\leq k\leq n, maka

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}z_{n,k}\in\mathbb{Z}

Bukti :

Panggil z_{n,k} :

\displaystyle z_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n +m}{m}}

Kita akan menunjukan bahwa dua bilangan berikut ini :

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}\frac{1}{m^3}

dan

\displaystyle\frac{2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}}{2m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}

adalah dua bilangan bulat pada kisaran 1\leq m\leq n, maka jumlah keduanya pada kisaran tersebut akan juga merupakan bilangan bulat yang disyaratkan.

Yang pertama dari kedua bilangan tadi jelaslah bilangan bulat, karena jika m\leq n maka :

m^3\left | \right.\textup{kpk}[1,2,...,n]^3.

Tapi bilangan kedua sedikit trivial, kita akan mencari sembarang bilangan prima yang membagi pembilang lebih banyak daripada ia membagi penyebut. Jika penyebut pada bilangan kedua ditulis seperti ini :

\displaystyle m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}

dan dapat dicatat bahwa :

\displaystyle\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}=\binom{k}{m}\binom{n+k}{k-m}^{-1}

dan karena :

\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]) =\left [\frac{\log n}{\log p}\right ],

Juga dapat dicatat bahwa :

\displaystyle\textup{ord}_p\left (\binom{n}{m}\right ) \leq \textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n])-\textup{ord}_p(m),~~~~~(K.5)

sehingga untuk m\leq k\leq n maka :

\displaystyle\textup{ord}_p\left ( m^3\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}\binom{n+k}{k}^{-1}\right )

\displaystyle = \textup{ord}_p\left ( m^3\binom{n}{m}\binom{k}{m}\binom{n+k}{k-m}^{-1}\right )

\displaystyle = 3\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p\left (\binom{n}{m}\right )+\textup{ord}_p\left ( \binom{k}{m}\right )-\textup{ord}_p\left (\binom{n+k}{k-m}\right )

\displaystyle\leq 3\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p(\textup {kpk}[1,2,...,n])-\textup{ord}_p(m)+\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,k])-\textup{ord}_p(m)

\displaystyle = \textup{ord}_p(m)+\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]+\left [\frac{\log k}{\log p}\right ]

\displaystyle\leq 3\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]

Jika dilihat pada pembilang bilangan tadi, didapat :

\displaystyle\textup{ord}_p(\textup{kpk}[1,2,...,n]^3)=3\left [\frac{\log n}{\log p}\right ]

sehingga ini merupakan sembarang bilangan prima yang membagi pembilang pada bilangan kedua tadi paling sedikit sesering ia membagi penyebutnya. Atau dengan kata lain, bilangan yang kedua tadi adalah bilangan bulat.

Jadi,

\displaystyle 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3\binom{n+k}{k}z_{n,k}

adalah jumlah dari dua bilangan bulat, karena itu ia juga merupakan bilangan bulat.

Dengan ini maka dapat dirumuskan Teorema Apéry sebagai berikut :

Teorema Apéry\zeta (3) adalah bilangan irasional.

Bukti:

Melalui kriteria keirasionalan, terdapat barisan pasangan n coprime tak hingga dari (p_n) dan (q_n), dengan p_n,q_n\in\mathbb{Z}, sedemikian sehingga untuk \varepsilon > 0, diperoleh :

\displaystyle\left | \zeta (3)-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}.

Dengan p_n dan q_n sebagai berikut :

\displaystyle p_n=2 \textup{kpk}[1,2,3,...,n]^3x_n, ~~~~~ q_n=2 \textup{kpk}[1,2,3,...,n]^3y_n

Untuk sembarang \delta >0 terdapat N bilangan asli sedemikian sehingga jika n > N, maka :

\begin{array}{lcl} \displaystyle q_n&=&2\textup{kpk}[1,,2,3,...,n]^3y_n \\ &\ll& \displaystyle a^n\textup{exp}((3+\delta)n)\\&=& \displaystyle a^n a^{\frac{(3+\delta)n}{\log a}}\\&=& \displaystyle a^{n\left ( 1+\frac{3+\delta}{\log a} \right )}\\&=& \displaystyle a^{2n\left ( \frac{\log a + 3 +\delta}{2\log a} \right )}\\ &\ll& \displaystyle a^{\frac{2n}{1+\varepsilon}}\end{array}

dimana :

\displaystyle 1+\varepsilon=\frac{2\log a}{\log a+3+\delta}

dan \delta adalah parameter penyimpangan \pi (n) untuk n cukup besar. Dengan a=(1+\sqrt{2})^4, ambilah misalnya \delta=\frac{1}{2}, diperoleh :

\displaystyle\varepsilon=\frac{2\log a-7}{2\log a+7}= 0.003628833... > 0

Dengan \delta=\frac{1}{3}, diperoleh :

\displaystyle\varepsilon=\frac{3\log a-10}{3\log a+10}= 0.028016597... > 0

Dan ketika n\to\infty, dengan \delta=0, maka :

\displaystyle\varepsilon=\frac{\log a-3}{\log a+3}= 0.080529431... > 0

Karena itu :

\displaystyle \left | \zeta (3)-\frac{p_n}{q_n} \right |\ll\frac{1}{a^{2n}}\ll\frac{1}{q_n^{1+\varepsilon}}

Jadi, \zeta (3) adalah irasional.

One thought on “Konstanta Apéry dan Teorema Bilangan Prima

  1. Pingback: Beberapa Latihan Keirasionalan – Akhir Pekan « matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s