Zona Numeris pada Konstanta Apéry

Analysis, Mathematics, Number Theory 4 Minutes

Formula rekursif dari Apéry sangat baik menggambarkan bukti empiris (numerik) bahwa \zeta (3) adalah irasional.

Dari formula rekursif Y_n pada tulisan sebelumnya, dapat dicatat bahwa :

Y_{n-1}=-Y_{-n}=34n^3-51n^2+27n-5,

Sehingga formula rekursif untuk x_n dan y_n menjadi seperti ini :

\displaystyle\left\{\begin{matrix}n^3x_n-Y_{n-1}x_{n-1}+(n-1)^3x_{n-2}=0 & (P.1)\\ n^3y_n-Y_{n-1}y_{n-1}+(n-1)^3y_{n-2}=0 & (P.2)\end{matrix}\right.

yang berlaku untuk semua n\geq 2.

Permasalahan pada tulisan ini adalah untuk menjamin bahwa kekonvergenan \frac{x_n}{y_n}\to\zeta (3) tidak terlalu cepat, untuk bisa membuktikan bahwa \zeta (3) adalah irasional. Untuk itu perlu ditentukan batasan-batasan numeris agar kriteria keirasionalan terpenuhi. Lebih jelasnya, kita akan mencari tahu nilai eksak untuk a=\frac{x_n}{y_n}, serta pertumbuhan dari x_n dan y_n agar a konvergen tidak terlalu cepat, paling tidak ia konvergen dalam jangka panjang (disebut pertumbuhan quasi-geometrik).

Selanjutnya harus ditunjukkan dua hal berikut : Pertama, jika (y_n) adalah barisan dengan y_0=1, y_1=5 ketika y_n=Y_n untuk semua n, maka y_n harus merupakan barisan bilangan bulat, atau ditulis y_n\in\mathbb{Z}. Kedua, jika x_0=0, x_1=6 ketika x_n=Y_n untuk semua n, maka x_n harus merupakan barisan bilangan bulat juga, x_n\in\mathbb{Z}, dengan penyebut pada x_n membagi dua kali kelipatan persekutan terkecil (kpk) dari [1,2,...,n]^3 atau ditulis 2\textup{kpk}[1,2,...,n]^3 (angka ini bersesuaian dengan faktor 2m^3 pada penyebut z_{n,k}, yang akan dilihat nanti). Hal yang kedua ini ada kaitannya dengan Teorema Bilangan Prima dan perlu penjelasan tersendiri.

Pada tulisan ini akan difokuskan untuk menguji hal yang pertama. Untuk itu diperlukan Lemma.

Lemma 4. Melalui notasi O besar kita akan membuktikan :

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\textup{sup}~y_n^2\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |~~\textup{Tertutup}

yang berarti bahwa :

\displaystyle\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\ll\frac{1}{y_n^2}.

Bukti :

Jika (P.1) dikalikan dengan y_{n-1} dan (P.2) dengan x_{n-1}, dan mengurangkan yang kedua dari yang pertama, diperoleh :

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )+(n-1)^3\left ( x_{n-2}y_{n-1}-y_{n-2}x_{n-1}\right )=0,

atau dalam pernyataan lain,

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=(n-1)^3\left ( x_{n-1}y_{n-2}-x_{n-2}y_{n-1}\right )

yang berarti ketika n\mapsto (n-1), maka :

(n-1)^3\left ( x_{n-1}y_{n-2}-y_{n-1}x_{n-2}\right )=(n-2)^3\left ( x_{n-2}y_{n-3}-x_{n-3}y_{n-2}\right )

Dengan memproses ini secara induktif untuk semua k<n, terdapat :

n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=(n-k)^3\left ( x_{n-k}y_{n-k-1}-x_{n-k-1}y_{n-k}\right ).

Pada kasus k=n-1 didapatkan identitas berikut :

\displaystyle n^3\left ( x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}\right )=x_1y_0-x_0y_1

atau

\displaystyle x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}=\frac{1}{n^3}\left ( x_1y_0-x_0y_1\right ).

Ini dapat diuji dengan x_0=0,y_0=1,x_1=6, dan y_1=5 sehingga didapat :

x_1y_0-x_0y_1=6\times 1-0\times5=6.

Karena itu,

\displaystyle x_ny_{n-1}-y_nx_{n-1}=\frac{6}{n^3}~~~~~\forall n\in\mathbb{N}

yang merupakan zona numeris ketika n\mapsto k=(n-1).

Untuk mendapatkan batasan numeris pada penutupnya, pada sembarang bilangan asli n, kita definiskan :

\displaystyle\alpha_n=\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}.

Maka,

\displaystyle\alpha_{n-1}-\alpha_n=\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_{n-1}}{y_{n-1}}=\frac{x_ny_{n-1}-x_{n-1}y_n}{y_{n-1}y_n}=\frac{6}{n^3y_{n-1}y_n}

Dari Lemma 2, karena \alpha_n\to 0, maka ini bisa kita tulis :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}&=&\displaystyle\alpha_n \\ &=&\displaystyle\alpha_n-\alpha_{n+1}+\alpha_{n+1} \\ &=&\displaystyle\alpha_n-\alpha_{n+1}+\alpha_{n+1}-\alpha_{n+2}+\alpha_{n+2}-\alpha_{n+3}+\alpha_{n+3}-...\\ &=&\displaystyle\sum_{m=n+1}^{\infty}\left (\alpha_{m-1}-\alpha_m\right ) \\ &=&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_{m-1}y_m}\end{array}

Jadi (y_n) adalah barisan bilangan bulat n, yang langsung bertambah dengan pertambahan n positif, sehingga ini bisa ditulis :

\begin{array}{lcl}\left |\displaystyle\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}\right |&=&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_{m-1}y_m} \\ &\leq&\displaystyle 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3y_n^2} \end{array}

Dengan kata lain,

\displaystyle y_n^2\left |\zeta (3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\leq 6 \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^3}\leq 6\zeta (3)<12

Dan karena itu bisa disimpulkan:

\displaystyle\left | \zeta(3)-\frac{x_n}{y_n}\right |\ll\frac{1}{y_n^2}.

Selanjutnya akan ditentukan nilai estimasi pada y_n dan nilai eksak a. Untuk itu diperlukan Lemma berikut ini.

Lemma 5. Jika a=(1+\sqrt{2})^4, maka y_n=O(a^n).

Bukti : 

Formula rekursif n^3y_n-Y_{n-1}y_{n-1}+(n-1)^3y_{n-2}=0, bisa digunakan untuk mengestimasi y_n pada suatu laju tertentu secara asimtotik. Dengan menuliskan Y_{n-1} secara eksplisit, dan membagi semua suku dengan n^3y_{n-1}, maka setelah disederhanakan menjadi :

\displaystyle\frac{y_n}{y_{n-1}}-\left ( 34-\frac{51}{n}+\frac{27}{n^2}-\frac{5}{n^3}\right )+\left ( 1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}\right )\frac{y_{n-2}}{y_{n-1}}=0

Untuk \frac{y_{n+1}}{y_n}\to\beta ketika n cukup besar identitas di atas menjadi :

\displaystyle\beta-34+\frac{1}{\beta}=0, atau \displaystyle\beta^2-34\beta+1=0.

Karena (y_n) tumbuh membesar ke arah positif sehingga kita ambil nilai akar positif dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu :

\beta=17+12\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^4=a,

dari situ diperoleh nilai estimasi a^n\ll y_n\ll a^n, atau y_n=O(a^n) yang merupakan pertumbuhan quasi-geometrik karena ia mendekati pertumbuhan geometrik, paling tidak dalam jangka panjang.

Published by hilmanpalisabana

Founder of Hyang Language Foundation and also a Math Nerd.

Published

One thought on “Zona Numeris pada Konstanta Apéry”

  1. Pingback: Konstanta Apéry dan Teorema Bilangan Prima « matematika-ku

Leave a comment