Prime in Golden Tree

Shiver in ecstasy, Clifford A. Pickover in his twitter account showed a new kind, amazing prime number :

Pickover's Prime

Which is the prime number of the form 10^{2k} - 10^{k} - 1, where k=253. It will be nice to call “Prime in Golden Tree”, because if such a quadratic form equals 0 then the real solution will explain “original root” that follows golden ratio. As I wrote earlier in this blog, decimal expansion of the form \displaystyle \frac{1}{10^{2k}-10^{k}-1} follows Fibonacci Sequence.

This is amazing prime number. This will invite us to know this kind of prime number better, and the associated quadratic “tree” formula. And in a broader sense, it will invite us on a deeper curiosity about the golden ratio and our universe.

And yes, Shiver in ecstasy.

Advertisements

Pendekatan Rasional terhadap ln (phi)

Internet dan mesin hitung paling presisi saat ini menunjukan bahwa \ln(\phi) adalah bilangan irasional, dugaan saya juga begitu. Alam semesta selalu menunjukan fenomena yang intuitif, namun ketetapan itu sifatnya bebas dari pikiran. Saya percaya bahwa \ln(\phi) tidak hanya inheren dalam e dan \phi, tetapi juga ada di alam dalam bentuk lain. Bila tertarik bagaimana memeriksa keirasionalan suatu bilangan dalam cara yang lebih seksama bisa melalui metode yang sama diterapkan terhadap konstanta Apéry \zeta(3), melalui kriteria keirasionalan yang biasa maupun melalui notasi O besar. Pendekatan rasional melalui continued fraction adalah salah satu metode yang terbaik digunakan. Dari bentuk simple cf \ln(\phi) pada tulisan sebelumnya didapat tiap-tiap bagian bentuk cf linier ini, saya ambil hingga ke-30 (0 di paling awal sebagai bagian integer dari \ln(\phi)) :

simple cf approximation to ln (phi)

Bentuk rasional dari bagian-bagian liner simple cf di atas adalah :

simple cf approximation to ln (phi)

Lompatan besar dalam denominator (misalnya, 20465 → 􀀀6442217) umumnya terjadi pada digit CF “besar”; lompatan kecil (misalnya, 25 →􀀀 27) umumnya terjadi pada digit CF “kecil”. Tidak terdapat pola yang jelas pada digit simple CF \ln(\phi).

simple cf approximation to ln (phi)

Relative error berubah tanda : positif dan negatif secara bergantian, yaitu mendekati \ln(\phi) secara bergantian: overshoot dan undershoot.

Python memiliki keterbatasan untuk mengkonstruk semua bilangan rasional yang paling dekat ke suatu bilangan real tertentu, melalui CF. Meskipun demikian Python mempunyai modul Fractions untuk menghitung bentuk rasional paling dekat terhadap dirinya dengan denominator yang paling dekat. Contoh :


import math
from fractions import Fraction

phi = (1+math.sqrt(5))/2
k = math.log(phi)

print "phi : ", phi
print "k : ", k
print(Fraction.from_float(k).limit_denominator(100))

Output:

phi : 1.61803398875
k : 0.48121182506
38/79

Catatan : Untuk suatu bilangan real x, modul ini mendefiniskan “best upper rational approximation” dalam bentuk pecahan \displaystyle \frac{p}{q} terhadap x sehingga : (1) \displaystyle \frac{p}{q}\geq x, dan (2) jika \displaystyle \frac{p}{q} > \displaystyle \frac{r}{s}\geq x maka s > q, untuk suatu bilangan rasional \displaystyle \frac{r}{s}.

Begitu pula untuk *best lower approximation*. Jadi bisa dibuktikan bahwa bilangan rasional adalah best upper atau best lower approximation terhadap x, jika dan hanya jika ia konvergen atau semikonvergen pada bentuk refresentasi x dalam CF.

Untuk menemukan pendekatan rasional terbaik dengan denominator \leq M, diperlukan best upper dan best lower approximation dengan denominator \leq M dan mengambil mana yang lebih dekat ke x.

Selain fungsi limit_denominator(), modul Fractions ini juga bisa menghitung bilangan rasional dari bentuk desimal berhingga (finite) yang instan, dan mengkonversi langsung secara eksak. Contoh :


import math
from fractions import Fraction

phi = (1+math.sqrt(5))/2
k = math.log(phi)

print "phi : ", phi
print "k : ", k
print(Fraction(k))

Output:

phi : 1.61803398875
k : 0.48121182506
4334370792049413/9007199254740992

Catatan tambahan (update) :

Di Python, terdapat modul Decimal yang bisa digunakan untuk melihat nilai eksak atau untuk mengatur presisi dari suatu nilai float atau desimal tertentu. Artikel menarik dari David Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. Thanks, Debb.

ln (phi) dalam Continued Fraction

Konstanta Euler (e) dan Golden Ratio (\phi) telah dikenal keduanya mempunyai bentuk yang sederhana dan menawan jika dinyatakan dalam bentuk continued fraction. Sedangkan \ln(\phi) — seperti halnya juga \pi — tidak begitu sederhana bila dinyatakan dalam bentuk continued fraction, yaitu partial denominator-nya tidak menunjukan pola yang jelas ketika semua partial numerator-nya adalah 1. Continued fraction demikian sering disebut simple continued fraction.

\ln(\phi) dalam simple continued fraction :

\ln(\phi) = \displaystyle \frac{1}{2+\displaystyle \frac{1}{12+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{4+\displaystyle \frac{1}{6+\displaystyle \frac{1}{4+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{314+\displaystyle \frac{1}{46+\displaystyle \frac{1}{2+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{6+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{...}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

\ln(\phi)=[0; 2, 12, 1, 4, 6, 4, 1, 3, 1, 314, 46, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 6, 3, 3, 11, 23, 6, 1, 4, ...]

Seperti tampak di atas, dengan semua partial numerator-nya 1, partial denominator tidak menunjukan pola yang jelas (bandingkan dengan e dan \phi dalam simple continued fraction, lihat di bagian paling bawah).

Alternatif untuk menyatakan \ln(\phi) continued fraction di atas adalah melalui generalized continued fraction. Berikut diantarnya bentuk \ln(\phi) dalam generalized continued fraction yang bisa dibuktikan :

\ln(\phi)=\displaystyle \frac{\phi-1}{1+\displaystyle \frac{1^{2}(\phi-1)}{2-(\phi-1)+\displaystyle \frac{2^{2}(\phi-1)}{3-2(\phi-1)+\displaystyle \frac{3^{2}(\phi-1)}{4-3(\phi-1)+\displaystyle \frac{4^{2}(\phi-1)}{5-4(\phi-1)+\displaystyle \frac{5^{2}(\phi-1)}{6-5(\phi-1)+\displaystyle \frac{6^{2}(\phi-1)}{...}}}}}}}

Bila dinyatakan dengan notasi continued fraction \mathrm{K} dari Gauss :

\boxed{ \ln(\phi)=\displaystyle \frac{\phi-1}{1+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathrm K}}\displaystyle\frac{n^{2}(\phi-1)}{(n+1)-n(\phi-1)}} }

Generalized continued fraction untuk \ln(\phi) lainnya yang menarik dibuktikan :

\boxed{ \ln(\phi)=\displaystyle \frac{\phi-1}{1+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathrm K}}\displaystyle \frac{\left( \frac{n+1}{2}  \right )^{2}(\phi-1)}{n+1}} }

\boxed{ \ln(\phi)=\displaystyle \frac{\phi-1}{\phi+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathrm K}}\displaystyle \frac{-n^{2}(\phi-1)\phi}{(n+1)+(2n+1)\phi}} }

Perluasan deret ini menarik dibuktikan :

\ln(\phi)=-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{(-1)^{n}(\phi-1)^{n}}{n}=\displaystyle \frac{(\phi-1)}{1}-\displaystyle \frac{(\phi-1)^{2}}{2}+\displaystyle \frac{(\phi-1)^{3}}{3}-...

\boxed{ \ln(\phi)=-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n}(\sqrt{5}-1)^{n}}{2^{n}n} }

————————————————————–
Bandingkan :

e dalam simple continued fraction :

e = 2+ \displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{2+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{4+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{6+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{8+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{10+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{12+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{...}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, ...]

\phi dalam simple continued fraction :

\phi = 1+ \displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{...}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

\phi = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]