Golden Ratio

Persamaan kuadrat x^2-x-1=0 atau \displaystyle 1+\frac{1}{x}=x apabila diselesaikan solusi untuk nilai x adalah :

\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887498948482...

dan

\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.6180339887498948482...

Solusi x yang pertama tidak lain merupakan Golden Ratio (\phi).

Sekarang bila x disubstitusi dengan 10^k, maka bentuk persamaannya menjadi : 10^{2k}-10^k-1=0 (atau bisa ditulis 10^{n}-10^k-1=0, dengan n=2k). Penyelesaian persamaan ini menghasilkan solusi riil :

\displaystyle k=\frac{\ln(\phi)}{\ln(10)}=\frac{\ln(1+\sqrt{5})-\ln(2)}{\ln(5)+\ln(2)}=0.20898764...

dengan \ln adalah natural logarithm. Bila k=24, dan karena \frac{24}{0.20898764}\approx 115, maka itulah sebabnya kenapa \displaystyle \frac{1}{10^{n}-10^k-1} dengan n=2k, k=24, menghasilkan pola bilangan Fibonacci dengan ketepatan hingga bilangan Fibonacci ke-115 :

F_{115}=483162952612010163284885.


Sumber : futilitycloset.com

Lebih umum lagi, bila x pada x^2-x-1=0 disubstitusi dengan u^k, maka solusi riil untuk k adalah:

\displaystyle k=\frac{\ln(\phi)}{\ln (u)}.

Bila u = e (konstanta Euler), maka k = \ln(\phi)=0.48121182...

One thought on “Golden Ratio

  1. Pingback: Prime in Golden Tree | matematika-ku

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s