Universal and Existential Quantifier

I was so impressed and sometimes confused to articulate past, present, and future tense in English. This maybe one reason why I feel so bad in English. Another reason maybe because of “unlucky” of letter A and E for the notation of “Universal quantifier” and “Existential quantifier” in Mathematical logic :

Universal and Existential Quantifier

I was also impressed with the use of such symbols that lead naturally to the Russell’s paradox.

In Arabic grammar, which I learned from classic books of Islamic scholastic literatures, the present and future tenses are very complex and unified in one class of syntax but with many rules of instantiation more sharpened, namely fi’il mudhori, and the past tenses in Arabic grammar is same as in English and named fi’il madhi.

Seputar Revolusi Kopernikan dari Immanuel Kant

Suatu proposisi pada dasarnya merupakan cara pikiran kita memberi tanggapan terhadap sesuatu yang disebut subjek dengan sesuatu yang disebut predikat. Dari sini muncul pertalian (relation) sebagai suatu bentuk tanggapan pikiran. Tetapi di dalam memahami relasi ini, seseorang harus mencari sumber untuk menentukan bagian mana yang merupakan luaran dan isi dari subjek yang sedang dipikirkan.

Di buku kritik pertama, Kritik der reinen Vernunft, Immanuel Kant membagi proposisi menjadi dua, yaitu proposisi sintetik dan proposisi analitik. Dalam semua tanggapan (judgements), tutur Kant, proposisi—baik yang bersifat afirmatif maupun negatif—merupakan relasi antara subjek dan predikat. Jika muncul pernyataan : “setiap A adalah B”, dimana A = subjek, dan B = predikat, predikat B mungkin sudah terkandung dalam konsep A. Artinya, predikat mungkin sudah terkandung dalam pengertian subjek. Ini disebut sebagai tanggapan analitik (analytical judgements), karena tanggapan ini hanya menganalisa isi pengertian subjek yang telah ada; atau, dalam cara lain, predikat B mungkin secara keseluruhan berada di luar konsep A, ini berarti B bukan merupakan identitas yang terkandung di dalam konsep subjek A, sekalipun predikat tersebut memiliki koneksi yang dapat menambahkan sesuatu yang baru kepada pengertian subjek. Yang kedua ini disebut sebagai tanggapan sintetik (synthetical judgements).

Tentang kedua jenis proposisi di atas Kant menulis dalam kitab kritik pertamanya,

In the first instance, I term the judgement analytical, in the second, synthetical. Analytical judgements are therefore those in which the connection of the predicate with the subject is cogitated through identity; those in which this connection is cogitated without identity, are called synthetical judgements. The former may be called explicative, the latter augmentative judgements; because the former add in the predicate nothing to the conception of the subject, but only analyse it into its constituent conceptions, which were thought already in the subject, although in a confused manner; the latter add to our conceptions of the subject a predicate which was not contained in it, and which no analysis could ever have discovered therein.

(Terjemahan versi English oleh : J. M. D. Meiklejohn)

Yang bersifat analitik ialah proposisi seperti : setiap benda ragawi menempati ruang, atau setiap benda ragawi menempel dalam aliran waktu, karena keadaan menempati ruang dan waktu sudah merupakan sifat yang tentu melekat pada benda ragawi. Koneksi yang terjadi antara subjek dan predikat dipikirkan sebagai identitas. Tanggapan analitik sekadar menganalisa mengenai isi pengertian subjek.

Yang bersifat sintetik ialah tanggapan: setiap benda ragawi memiliki massa, dimana predikat adalah sesuatu yang berbeda secara total dengan konsepsi subjek. Karena predikat tidak berlaku bagi benda ragawi sebagai identitas benda ragawi itu. Dengan demikian tanggapan sintetik dapat memberi pengetahuan baru.

Di samping itu relasi tanggapan tersebut dapat bersifat a posteriori dan a priori. Tanggapan a posteriori ialah tanggapan yang bersumber pada pengalaman; tanggapan a priori ialah tanggapan yang semata-mata bersumber pada akal.

Kant berikutnya menulis,

Judgements of experience, as such, are always synthetical. For it would be absurd to think of grounding an analytical judgement on experience, because in forming such a judgement I need not go out of the sphere of my conceptions, and therefore recourse to the testimony of experience is quite unnecessary. That “bodies are extended” is not an empirical judgement, but a proposition which stands firm a priori … But now I extend my knowledge, and looking back on experience from which I had derived this conception of body, I find weight at all times connected with the above characteristics, and therefore I synthetically add to my conceptions this as a predicate, and say, “All bodies are heavy.” Thus it is experience upon which rests the possibility of the synthesis of the predicate of weight with the conception of body, because both conceptions, although the one is not contained in the other, still belong to one another (only contingently, however), as parts of a whole, namely, of experience, which is itself a synthesis of intuitions.

Ada kemungkinan terjadi salah paham. Orang mengira bahwa tanggapan a posteriori niscaya juga tanggapan sintetik, karena hanya pengalaman lah yang dapat menimbulkan sintesa, artinya yang dapat menimbulkan pengetahuan baru. Demikian pula, bahwa sebaliknya segenap tanggapan a priori tentu juga merupakan tanggapan analitik, karena akal sekadar mengadakan analisa terhadap identitas yang sudah tersedia. Tetapi, kesimpulan demikian tidak betul. Ada juga tanggapan-tanggapan sintetik a priori (synthetical judgements a priori). Berdasar tanggapan-tanggapan seperti inilah orang menyusun matematika, ilmu pengetahuan alam dan begitu pula metafisika yang dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah.

Kant menulis,

But to synthetical judgements a priori, such aid is entirely wanting. If I go out of and beyond the conception A, in order to recognize another B as connected with it, what foundation have I to rest on, whereby to render the synthesis possible? I have here no longer the advantage of looking out in the sphere of experience for what I want. Let us take, for example, the proposition, “Everything that happens has a cause.” In the conception of “something that happens,” I indeed think an existence which a certain time antecedes, and from this I can derive analytical judgements. But the conception of a cause lies quite out of the above conception, and indicates something entirely different from “that which happens,” and is consequently not contained in that conception. How then am I able to assert concerning the general conception– “that which happens”– something entirely different from that conception, and to recognize the conception of cause although not contained in it, yet as belonging to it, and even necessarily? what is here the unknown = X, upon which the understanding rests when it believes it has found, out of the conception A a foreign predicate B, which it nevertheless considers to be connected with it?

Menurut Kant, ilmu pengetahuan menyiratkan tanggapan-tanggapan yang memberi pengetahuan baru, artinya menyiratkan tanggapan-tanggapan sintetik. Tetapi ilmu pengetahuan juga menyiratkan tanggapan-tanggapan yang bersifat niscaya serta umum, artinya menyiratkan tanggapan-tanggapan a priori. Tanggapan-tanggapan a posteriori sesungguhnya tergantung pada pengalaman yang senantiasa berubah-ubah (contingent), dan karena itu tidak mungkin bersifat niscaya (necessary) maupun umum. Itu sebabnya tanggapan-tanggapan sintetik a priori merupakan syarat bagi adanya ilmu pengetahuan. Ada sejumlah kebenaran, yang dalam hal ini antara subjek dan predikat, meskipun predikatnya tidak terkandung di dalam subjek. Justru inilah yang merupakan kebenaran-kebenaran yang mendasari ilmu pengetahuan. Tetapi bagaimana mungkin ada hal-hal semacam itu? Umpamanya tanggapan: segala sesuatu yang bersifat umum dan niscaya, namun sekaligus bersifat sintetik, karena pengertian penyebab (cause) tidak terkandung dalam pengertian “something that happens.” Apakah yang merelasikan secara a priori kedua macam pengertian ini, yang di dalamnya yang satu tidak mengandung yang lain? Di bagian pendahuluan, Kant menulis,

It cannot be experience, because the principle adduced annexes the two representations, cause and effect, to the representation existence, not only with universality, which experience cannot give, but also with the expression of necessity, therefore completely a priori and from pure conceptions. Upon such synthetical, that is augmentative propositions, depends the whole aim of our speculative knowledge a priori; for although analytical judgements are indeed highly important and necessary, they are so, only to arrive at that clearness of conceptions which is requisite for a sure and extended synthesis, and this alone is a real acquisition.

Boleh dikatakan bahwa kitab Kritik der reinen Vernunft ditulis untuk menjawab pertanyaan ini. Dalam pendahuluannya Kant mengadakan pemilahan antara pengetahuan murni a priori dan pengetahuan berdasar pengalaman a posteriori. Pengetahuan murni a priori berasal semata-mata dari akal sendiri. Ia merupakan sesuatu yang khas dari akal, dan karenanya bahkan terjadi dalam pemikiran sehari-hari. Tetapi filsafat memerlukan suatu ilmu pengetahuan yang menetapkan kemungkinan, asas-asas serta teori berlakunya pengetahuan a priori. Karena itu perlu diperhatikan pemilahan antara tanggapan-tanggapan sintetik dengan tanggapan-tanggapan analitik, dan perlu diingat bahwa dalam segenap ilmu pengetahuan teoritik terkandung tanggapan sintetik a priori sebagai asas-asanya.

Jika telah ditunjukkan bahwa tanggapan ini melandasi matematik serta ilmu pengetahuan alam, maka barulah kita dapat menyelidiki lebih lanjut maknanya bagi metafisika. Sampai saat itu metafisika belum mampu menemukan suatu cara yang tetap untuk dinamakan ilmu pengetahuan (science), setidak-tidaknya di masa Kant, dan oleh sebab itu kehilangan pamornya. Tetapi metafisika tetap saja menyembul berdasar bawaan kodrati manusia, dan karenanya para filsuf harus mencari asas-asanya, yang atas dasar itu metafisika dapat berkembang sebagai ilmu pengetahuan yang sebenarnya.

This last question, which arises out of the above universal problem, would properly run thus: “How is metaphysics possible as a science?” Thus, the critique of reason leads at last, naturally and necessarily, to science; and, on the other hand, the dogmatical use of reason without criticism leads to groundless assertions, against which others equally specious can always be set, thus ending unavoidably in scepticism.

Untuk itu mungkin kita perlu meninggalkan segenap metafisika pada masa-masa lampau, dan berdasar akal-akal kekal metafisika untuk menumbuhkan sebuah metafisika baru. Dalam penyelidikan ini yang perlu diperhatikan bahwa pengetahuan manusia itu bercabang dua, yang mungkin berasal dari akar yang sama, namun yang tidak kita ketahui, yaitu bersifat inderawi (lewat sense) dan akal (lewat thought). Kemampuan inderawi menampilkan objek-objek kepada kita, tetapi kemampuan akal menyebabkan kita memikirkan objek-objek tersebut.

Kant menegaskan bahwa kitabnya Kritik tidak ditulis untuk memberikan sebuah sistem filsafat transendental, melainkan sekadar kritik yang menunjukkan adanya kemungkinan bagi sistem semacam itu. Kant menamakan suatu pengetahuan bersifat transendental, manakala pengetahuan itu tidak menyangkut objek-objeknya sendiri, melainkan menyangkut cara kita mengetahui objek-objek tersebut, sejauh cara ini setidak-tidaknya dimungkinkan secara a priori.

From all that has been said, there results the idea of a particular science, which may be called the Critique of Pure Reason. For reason is the faculty which furnishes us with the principles of knowledge a priori. Hence, pure reason is the faculty which contains the principles of cognizing anything absolutely a priori … Such a science must not be called a doctrine, but only a critique of pure reason; and its use, in regard to speculation, would be only negative, not to enlarge the bounds of, but to purify, our reason, and to shield it against error– which alone is no little gain … I apply the term transcendental to all knowledge which is not so much occupied with objects as with the mode of our cognition of these objects, so far as this mode of cognition is possible a priori. A system of such conceptions would be called transcendental philosophy …

Kant lebih jauh menulis,

Transcendental philosophy is the idea of a science, for which the Critique of Pure Reason must sketch the whole plan architectonically, that is, from principles, with a full guarantee for the validity and stability of all the parts which enter into the building. It is the system of all the principles of pure reason…

Only so much seems necessary, by way of introduction of premonition, that there are two sources of human knowledge (which probably spring from a common, but to us unknown root), namely, sense and understanding. By the former, objects are given to us; by the latter, thought. So far as the faculty of sense may contain representations a priori, which form the conditions under which objects are given, in so far it belongs to transcendental philosophy. The transcendental doctrine of sense must form the first part of our science of elements, because the conditions under which alone the objects of human knowledge are given must precede those under which they are thought.

Berdasar gagasan-gagasan pengantar ini menjadi jelaslah susunan kitab Kritik itu: bagian pertama transcendentale Elementarlehre (transcendental doctrine of elements) dantranscendentale Methodenlehre (transcendental doctrine of method). Transcendentale Elementarlehre membawa penyelidikan kritik kepada unsur-unsur a priori pengetahuan kita. Sesuai dengan pemilahan pengetahuan inderawi (sense) serta pengetahuan akal (thought), maka elementarlehre dibagi dalam transcendentale Aesthetik dan transcendentale Logik.

Transcendentale Aesthetic, sebuah judul yang di dalamnya estetika, yang menurut artinya semula bermakna ajaran pengamatan, mempermasalahkan syarat-syarat objek-objek (Gegenstande) di hadapan kita. Nyatalah bagi Kant bahwa keindrawian menyiratkan dua buah bentuk a priori, yaitu ruang dan waktu. Ruang dan waktu merupakan bentuk-bentuk a prioripengetahuan kita. Benda-benda itu sendiri tidaklah bersifat meruang dan mewaktu, namun alat-alat inderawi kita seakan-akan menangkapnya dalam bentuk ruang serta waktu.

Sampai di sini sudah tampak apa yang oleh Kant sendiri disebut Copernican Revolution dalam pemikirannya : pengetahuan kita tidak mengarah kepada benda-benda, melainkan benda-benda itu yang mengarah kepada pengetahuan kita. Di bagian pendahuluan edisi kedua buku Critique of Pure Reason (1787), setelah mengalami revisi penting dari terbitan pertamanya (1781), Kant menulis,

It has hitherto been assumed that our cognition must conform to the objects; but all attempts to ascertain anything about these objects a priori, by means of conceptions, and thus to extend the range of our knowledge, have been rendered abortive by this assumption. Let us then make the experiment whether we may not be more successful in metaphysics, if we assume that the objects must conform to our cognition. This appears, at all events, to accord better with the possibility of our gaining the end we have in view, that is to say, of arriving at the cognition of objects a priori, of determining something with respect to these objects, before they are given to us. We here propose to do just what Copernicus did in attempting to explain the celestial movements. When he found that he could make no progress by assuming that all the heavenly bodies revolved round the spectator, he reversed the process, and tried the experiment of assuming that the spectator revolved, while the stars remained at rest. We may make the same experiment with regard to the intuition of objects.

Dengan demikian mengetahui tidak berarti mencerminkan secara pasif benda-benda, melainkan secara aktif membentuk gambaran pikir. Isi (material) pengetahuan kita memang berasal dari benda-benda, namun bentuknya timbul dari perbuatan mengetahui itu sendiri. Tetapi sekaligus hal ini membawa konsekuensi: kita tidak mengetahui bendanya sendiri (das Ding as Sich), melainkan yang kita ketahui hanyalah gejalanya (Erscheinung). Kant secara tegas mengingatkan agar tidak mendistorsikan gejala dengan yang semu. Yang semu tidak bersangkut-paut dengan kenyataan; sebaliknya gejala adalah suatu cara kita mengetahui kenyataan benda-benda.

Sumber :

  • Delfgaauw, Bernard. 1988. Sejarah Ringkas Filsafat Barat. Alih Bahasa Soejono Soemargono, PT Tiara Wacana : Yogyakarta, 1992.
  • Kant, Immanuel. 1787. Kritik der reinen Vernunft, diterjemahkan ke dalam versi bahasa Inggris oleh J. M. D. Meiklejohn, diterbitkan oleh : eBooks@Adelaide, 2009, http://ebooks.adelaide.edu.au/k/kant/immanuel/k16p/

Bilangan Imajiner : Sejarah dan Filosofinya

Penemuan objek matematika terkadang melewati proses pemikiran yang “liar” dan pergulatan mental yang melelahkan. Hal ini sempat beberapa kali mengundang pertanyaan filosofis bagi para matematikawan. Memasuki abad ke 19 sebagian ahli matematika melihat landasan filosofis matematika perlu untuk dikaji kembali. Penemuan bilangan imajiner memainkan perananan penting dalam membuka teritorial pikiran baru yang terlegitimasi secara matematis, namun menyisakan problem filosofis dan logika yang tetap tak tersentuh. Bilangan imajiner sangat vital sebagai peralatan matematika, yang dengannya teorema fundamental aljabar dapat dikukuhkan. Namun penemuan, pengkonsepsian, serta pengembangan bilangan imajiner telah memberi corak dan warna baru dalam sejarah matematika dan logika, yang menurut Cardano proses ini melibatkan “mental tortures” dan melewati jalan pikiran yang oleh Bombelli disebut “wild thought.” Proses pergulatan mental dan pikiran ini merupakan ciri dari perkembangan matematika di zaman Renaissance.

Setidaknya ada dua pandangan filosofis tentang matematika yang masuk ke zaman Renaisscance. Dua pandangan filosofis ini merupakan warisan para pemikir dan matematikawan Yunani yang kemudian berkomunikasi dengan peradaban Arab. Yang pertama adalah Aristotelianisme yang memandang matematika sebagai proses kreatif-transendental pikiran manusia. Objek matematika dalam pandangan Aristotelianisme dapat dibuktikan adanya melalui proses berpikir kreatif melalui tangga-tangga berpikir yang naik berawal dari pikiran manusia (ascending from human mind), yaitu proposisi aksioma, sampai di objek matematika melalui pembuktian (teorema). Pandangan ini merupakan jawaban metodis terhadap pandangan filosofis yang dikemukakan oleh gurunya, Plato. Pandangan yang kedua adalah Platonism, yang memandang matematika sebagai hasil dari proses intuitif-transendental. Objek matematika dalam pandangan Plato adalah realitas yang bebas dari pikiran manusia (independent from human mind), namun tidak dapat dipisahkan dengan teritorial yang berada di atasnya. Plato berkeyakinan bahwa matematika (atau geometri pada masa itu) merupakan realitas imaterial yang legitimasinya dibuktikan melalui proses intuitif-transendental dari realitas yang berada di atasnya (descending from divine realm) dan sampai ke bawah bersesuaian dengan realitas fisis.

Kedua pandangan filosofis ini secara esensial aktif berkomunikasi memasuki zaman Renaissance di Eropa. Hingga memasuki abad ke-20 para pengkaji fondasi matematika mulai merumuskan batasan-batasan akal matematis yang bersumber dari pikiran manusia. Di samping itu pula para matematikawan abad ke-20 meletakan kerangka landasan filosofis matematika sebagai perluasan dari dua pandangan yang telah ada sebelumnya.

Bilangan Imajiner Sebagai Peralatan Matematis dan Aplikasinya

Dewasa ini bilangan imajiner sudah tidak asing lagi digunakan dalam matematika, khususnya dalam analisis kompleks. Analisis kompleks itu sendiri dapat dipandang sebagai penerapan teori-teori kalkulus terhadap bilangan imajner. Tetapi apa sesungguhnya bilangan imajiner ini? Apakah ia bilangan yang hanya ada dalam imajinasi, yang tidak memiliki kesesuaiannya dengan realitas fisis? Sebagian orang mungkin masih mempertanyakan legitimasi dari bilangan imajiner ini.

Dewasa ini keberadaan bilangan imajiner sebagai objek maupun peralatan matematis sangat dirasakan manfaatnya bagi dunia. Dalam dunia rekayasa, bilangan ini sering dipakai dalam mempelajari prilaku aliran fluida di sekitar objek tertentu. Dalam elektromagnetika bilangan imajiner digunakan dalam pemodelan gelombang. Sehingga jika bukan karena penemuan i mungkin kita tidak bisa berkomuniaksi lewat telepon seluler, atau mendengarkan radio. Bilangan imajiner adalah bagian penting dalam mempelajari deret tak hingga (infinite series). Ia juga dipakai dalam model-model matematika untuk mekanika quantum. Bilangan imajiner adalah peralatan vital di dalam kalkulasi ketika membuat pemodelan. Dan akhirnya, setiap persamaan polinomial akan mempunyai solusi apabila bilangan imajiner (atau bilangan kompkes) dilibatkan. Jelasnya, kepentingan-kepentingan praktis maupun teoritis itu dapat memberikan gambaran kenapa bilangan imajiner itu ada atau tercipta.

Atas dasar alasan praktis seperti di atas dapat dikatakan pada saat sekarang ini bahwa secara praktis, bilangan imajiner tercipta disebabkan karena ia dibutuhkan, atau karena ia merupakan peralatan matematika yang dibutuhkan. Sebagai contoh penyelesaikan persamaan semisal akan menemui jalan buntu apabila di dalam matematika tidak dikenal konsep akar dua dari negatif satu. Karena itu terciptalah bilangan imaginer yang lebih populer disimbolkan dengan i (atau j dalam bidang kelistrikan), yang secara matematis memiliki kuantitas yang bersesuaian dengan akar dua dari negatif satu. Sehingga untuk mendapatkan solusi terhadap persamaan tadi, kita dapat memulainya dengan suatu anggapan i sebagai akar dua dari negatif satu. Namun anggapan ini belumlah menyentuh sisi filosofis penting dibalik munculnya bilangan imajiner.

Dari segi notasinya, bilangan imajiner adalah bilangan yang menakjubkan, setidaknya apabila kita mengkuadratkannya maka ia menjadi bilangan riil. Dengan menggunakan notasi akar dua dari negatif satu, yang disimbolkan dengan huruf i, persoalan akar dari bilangan negatif dapat diselesaikan.

Lebih jauh penemuan bilangan imaginer melewati beberapa fase pemikiran dan memerlukan waktu yang berabad-abad lamanya sehingga para matematikawan bisa menerima keberadaan bilangan baru ini. Pada bagian berikutnya saya akan mencoba mencatat beberapa episode sejarah bagaimana bilangan imajiner itu ditemukan, serta bagaimana bilangan imajiner itu dikonsepsikan serta dikembangkan.

Awal Penemuan dan Pengembangan Bilangan Imajiner

Sejarah penemuan bilangan imaginer (imaginary numbers) dimulai pada tahun 1545 ketika seorang matematikawan berkebangsaan Italia, Girolamo Cardano, menerbitkan buku yang berjudul Ars Magna, di mana pada buku tersebut Cardano untuk pertama kalinya menyatakan solusi aljabar terhadap persamaan kubik yang berbentuk . Persamaan ini untuk kemudian dikenal sebagai persamaan kubik umum. Solusinya diselesaikan oleh Cardano dengan terlebih dahulu mereformulasi persamaan kubik tersebut ke dalam persamaan kubik lain yang tidak memiliki suku yang variabelnya dikuadratkan, yaitu yang disebut dengan persamaan depressed cubic. Selanjutnya, Cardano menggunakan formula Ferro-Tartaglia untuk memecahkan persaamaan depressed cubic.

Selain sebagai matematikawan, Cardano juga dikenal sebagai fisikawan dan astrologer yang bekerja kepada para pembesar Eropa. Ia juga dikenal sebagai pejudi yang senang melakukan perjalanan jauh dan pesta-pora. Namun di tengah-tengah kesibukannya itu, karier matematika Cardano jauh lebih cemerlang sebagai aktor utama Renaissance. Di sisi lain, ia telah memberikan kontribusi penting terhadap perkembaangan awal ilmu probabilitas. Atas dasar kontribusi ini, ia telah dianggap sebagai bapak Ilmu Probabilitas. Selain De Vita Properia Liber yang berisi risalah ilmu probabilitas, ia juga menulis Ars Magna (Seni Agung). Di buku Ars Magna inilah Cardano mulai menyadari posibilitas keberadaan bilangan imajiner yang pertama kali muncul sebagai efek dari pengembangan penyelesaian persamaan kubik tadi.

Persamaan kubik (cubic equations) itu sendiri telah dipelajari oleh murid-murid Euclide di Alexandria. Archimedes (287 – 212 SM), misalnya, menemukan bahwa ketika sebuah bola dipotong oleh suatu bidang sehingga salah satu bagiannya memiliki volume dua kali bagian yang lainnya, maka cara bola tersebut dipotong mengarah ke persamaan kubik berbentuk : .

Memasuki awal masa Renaissance, para matematikawan Muslim telah banyak mewariskan cara menyelesaikan persamaan matematika baik dengan pendekatan aritmetika maupun melalui metode geometris. Namun matematikawan pada masa itu belum mampu untuk mendapatkan solusi aljabar terhadap persamaan kubik. Omar Khayyam (1050 – 1123) sebagai contoh memberikan ilustrasi terhadap pemecahan masalah persamaan kubik, namun hanya sampai di akar bilangan positif. Notasi terhadap akar dua bilangan negatif masih terlalu jauh dikonsepsikan mengingat konsep bilangan negatif sendiri masih asing waktu itu, dan penggunaannya dalam matematika masih dicurigai. Para matematikawan di masa itu agaknya masih sulit untuk menemukan korespondensi bilangan negatif dengan realitas fisis, meskipun secara sistematis penggunaannya dalam matematika telah dipresentasikan oleh Brahmagupta pada tahun 628.

Hingga pada tahun 1494, Luca Pacioli pun mengumumkan bahwa tidak ada solusi aljabar umum terhadap persamaan kubik. Orang pertama yang kemudian diketahui menemukan solusi aljabar terhadap persamaan depressed cubic adalah Scipio del Ferro (1465-1526), yaitu seorang guru besar di University of Bologna, Italia. Namun sayang, Ferro merahasiakan temuan ini untuk beberapa waktu, hingga ia memberitahukan temuan itu kepada Antonio Fior di saat menjelang wafatnya.

Setelah Cardano mereformulasi persamaan kubik umum menjadi bentuk depressed cubic equation, masalah selanjutnya adalah bagaimana menyelesaikan persamaan depressed cubic? Untungnya solusi persamaan depressed Cubic telah diketahui oleh teman Cardano yang bernama Niccolo Fontana yang dikenal juga dengan nama Tartaglia (“Si Gagap”), karena bicaranya gagap. Dalam suatu kontes, Nicollo Fontana ditantang oleh Fior untuk memecahkan permasalahan persamaan kubik. Namun diluar dugaan, Tartaglia berhasil memecahkannya dengan solusi yang lebih umum dari solusi yang diketahui Fior. Di lain waktu, Cardano membujuk Tartaglia agar memberitahukan temuannya itu, dan Tartaglia pun memberitahukannya dengan syarat agar temuan itu tidak dipublikasikan. Cardano menyetujuinya dan bersumpah tidak akan mempublikasikannya. Namun Cardano melanggar janjinya, ketika pada tahun 1543 ia menemukan paper yang ditulis oleh Ferro untuk topik persamaan kubik. Sejak itu munculah keinginan dalam dirinya itu untuk memformulasikan penanganan yang lebih lengkap terhadap persamaan kubik umum. Lalu kemudian ia menuliskan hasilnya dalam Ars Magna.

Maka dengan upaya ini Cardano bisa menangani persamaan kubik umum melalui koneksi persamaan depressed cubic dan solusinya dari Niccolo Fontana yang juga telah ditemukan 30 tahun sebelumnya oleh Scipio del Ferro. Formula rahasia ini kemudian disebut formula Ferro-Tartaglia.

Langkah-langkah penanganannya adalah sebagai berikut. Untuk menurunkan persamaan kubik yang berbentuk :

………. (1)

Cardano memulainya dengan mensubstitusikan terhadap persamaan (1), yang menghasilkan bentuk :

………. (2)

Dengan b dan c yang bersesuaian :

Persamaan (2) disebut depressed cubic equation.

Jadi, apabila nilai x pada persamaan depressed cubic ditemukan maka solusi terhadap persamaan kubik umum juga bisa ditemukan. Untungnya, solusi terhadap persamaan depressed cubic di atas telah didapatkan Cardano dari Tartaglia. Bentuk solusinya adalah seperti ini :

………. (3)

Dengan formula Ferro-Tartaglia ini, Cardano mendapatkan solusi terhadap persamaan kubik umum.

Pengembangan dari penyelesaian persamaan kubik dengan koneksi persamaan depressed cubic serta formula Ferro-Tartaglia selanjutnya memberi legitimasi bagi posibilitas eksistensi bilangan imajiner. Meskipun problem matematika yang melibatkan akar bilangan negatif sebenarnya sudah disadari sebelumnya, sebagai misal dari persamaan kuadrat yang solusinya . Namun pada masa Cardano konsep bilangan negatif masih diperlakukan dengan penuh curiga mengingat pada saat itu masih sulit untuk menemukan kesesuaiannya dengan realitas fisis. Sehingga munculnya akar dua dari bilangan negatif menambah keasingan bagi bilangan itu sendiri. Cardano sendiri mengatakan proses matematika dengan melibatkan “mental tortures,” dan ia pun menyimpulkan, “as subtle as it would be useless.”

Berikutnya, pada tahun 1637, Rene Descartes membuat bentuk standar untuk bilangan kompleks yaitu a+bi. Akan tetapi ia tidak menyukai bilangan ini. Ia mengasumsikan bahwa jika bilangan ini ada, maka ia pasti bisa dipecahkan. Namun karena ia tidak menemukan pemecahannya, maka ia tidak begitu berminat terhadap pengembangan bilangan ini. Isaac Newton sepakat dengan Descartes. Namun Leibniz memberikan komentar terhadap bilangan imajiner ini : “an elegant and wonderful resource of the divine intellect, an unnatural birth in the realm of thought, almost an amphibium between being and non-being.”

“Wild Thought”

Pada tahun 1572 Rafael Bombelli kembali menyadari arti penting bilangan imajiner. Dalam buku risalah Aljabarnya, Bombelli menunjukkan perlunya bilangan imajiner dilibatkan sebagai suatu peralatan matematis yang berguna. Bombelli memberikan langkah baru bagi pengembangan bilangan baru ini yang oleh Cardano dianggap “as refined as it is useless.” Bombelli beranggapan bahwa formula Ferro-Tartaglia dapat direformulasi ke dalam bentuk yang melibatkan kuantitas bilangan imajiner, namun dengan jalan berpikir yang disebutnya “wild thought.”

Yang ia maksud “wild thought” ialah, apabila persamaan depressed cubic (2) memiliki solusi riil, maka dua bagian x pada persamaan Ferro-Tartaglia (3) bisa diekspresikan dalam bentuk dan , dimana u dan v adalah bilangan riil.

Lalu apa relevansi “wild thought” ini terhadap matematika? John H. Mathews dan Russell W. Howell memberikan ilustrasi langkah berpikir Bombelli melalui contoh berikut ini.

Sebagai contoh, persamaan depressed cubic yang mempunyai b = -15 dan c = -4. Dengan menerapkan formula Ferro-Tartaglia, didapatkan atau dalam ekspresi lain . Dengan melewatkannya melalui “wild thought” Bombelli menunjukkan bahwa dan . Yang apabila kedua ruas dipangkatkan tiga menghasilkan dan . Kemudian, dengan menerapkan identitas aljabar :

untuk dan . Hasilnya :





Hal yang sama juga dilakukan untuk bagian x lainnya yaitu .

Pada persamaan di atas tampak pikiran Bombelli bahwa dan .

Bombelli kembali berpendapat bahwa u dan v haruslah bilangan bulat, dan karena faktor bilangan bulat dari 2 hanya 2 dan 1, maka maka ia menyimpulkan bahwa dan yang diikuti dengan atau . Nilai u dan v yang memenuhi adalah u = 2 dan v = 1.

Selanjutnya dengan memasukan nilai u dan v didapatkan nilai x, yaitu x = 4. Jadi, proses pengeluaran quantitas riil v dari kuantitas akar bilangan negatif serta dengan menempatkan quantitas akar dua dari negatif satu di dalam formula itu dipandang oleh Bombelli sebagai “wild thought.”

Untuk sampai kepada solusi riil ini Bombelli berfikir melalui teritorial bilangan imajiner yang belum pernah terpetakan sebelumnya. Sayangnya, trik berpikir ini tidak berlaku umum untuk semua persamaan kubik, tetapi hanya dapat diterapkan untuk kasus-kasus tertentu saja. Dalam risalah Aljabarnya, Bombelli menulis, “…and I too for a long time was of the same opinion. The whole matter seemed to rest on sophistry rather than on truth. Yet I sought so long, until I actually proved this to be the case.

Refresentasi Geometris dan Aljabar Bilangan Imajiner

Pikiran liar Bombelli merangsang orang dalam beberapa dekade berikutnya untuk mulai mempercayai keberadaan bilangan imajiner, dan sebagian ahli matematika berupaya agar keberadaannya menjadi lebih jelas, lebih dimengerti dan diterima. Salah satu cara agar keberadaannya diterima dengan mudah adalah dengan menyatakannya dalam bentuk grafik dua dimensi. Dalam kasus ini, sumbu x adalah untuk bilangan riil, dan sumbu y untuk bilangan imajiner.

Ide pertama untuk menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk geometris bersumber dari John Wallis pada tahun 1673. Sayangnya ekspresi geometris awal terhadap bilangan kompleks mengarah ke konsekuensi yang tidak diharapkan, yaitu dinyatakan pada titik yang sama dengan . Namun setidaknya representasi geometris ini memberikan konsepsi baru terhadap bilangan kompleks sebagai “titik pada bidang.” Upaya ini kemudian diteruskan oleh Caspar Wessel, Abbe Buee dan Jean Robert Argand.

Pada tahun 1732, matematikawan berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler mengadopsi gagasan representasi geometris untuk solusi persamaan berbentuk dan menyatakannya dalam bentuk . Euler juga adalah orang pertama yang menggunakan simbol i untuk . Di sisi lain, dalam risalahnya Euler menulis, “…for we may assert that they are neither nothing, not greater than nothing, nor less than nothing, which necessarily renders them imaginary or impossible.

Jelasnya, setelah ia memperlakukan bilangan imajiner secara matematis dan formal, dan menunjukan bahwa i mempunyai validitas matematis, pada akhirnya harus ia katakan bahwa eksistensi i dalam realitas adalah impossible, atau paling tidak “mental reality” belum mampu meletakan status ontologisnya.

Dua matematikawan lain yang turut memberikan sumbangan penting terhadap pengembangan bilangan imajiner adalah Augustin-Louis Cauchy (1789—1857) dan Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Cauchy menemukan beberapa teorema penting dalam bilangan kompleks, sedangkan Gauss menggunakan bilangan kompleks sebagai peralatan penting dalam pembuktian teorema fundamental dalam aljabar, yaitu terbukti bahwa melalui bilangan kompleks, terdapat solusi untuk setiap persamaan polinomial berderajat n. Dalam paper yang dikeluarkan tahun 1831, Gauss menyatakan representasi geometris untuk bilangan kompleks x + iy dengan titik (x, y) dalam bidang kordinat. Ia juga menjelaskan operasi-operasi aritmetika dengan bilangan kompleks ini.

Atas dasar usaha Gauss, bilangan kompleks mulai disadari legitimasinya. Sebagian ahli matematika meyakini keberadaan bilangan kompleks dan berusaha memahaminya, sebagian yang lain tidak, dan sebagian lagi meragukannya. Pada tahun 1833 William Rowan Hamilton menyatakan bilangan kompleks sebagai pasangan bilangan (a, b). Kendati kelihatannya hanya sebuah ekspresi lain alih-alih a + ib, dengan maksud agar lebih mudah ditangani melalui aritmetika. Usaha ini memicu Karl Weierstrass, Hermann Schwarz, Richard Dedekind, Otto Holder, Henri Poincare, Eduard Study, dan Sir Frank Macfarlane Burnet untuk merumuskan teori umum tentang bilangan kompleks. Dan atas upaya August Möbius aplikasi bilangan kompleks ke dalam geometri menjadi lebih jelas bentuk-bentuk formula transformasinya.

Genuine Logical Problems

Pada tahun 1831 Augustus DeMorgan berkomentar dalam bukunya, On the Study and Difficulties of Mathematics,

We have shown the symbol √(-1) to be void of meaning, or rather self-contradictory and absurd. Nevertheless, by means of such symbols, a part of algebra is established which is of great utility.

Dari sudut pandang ilmu logika, terdapat kontradiksi semisal identitas apabila diterapkan terhadap bilangan kompleks mengarah ke : . Masalahnya adalah (-1)(-1) = 1 dan . Tetapi . Jadi identitas tidak berlaku ketika a dan b adalah bilangan negatif.

Di sisi lain notasi bilangan imajiner mengarah ke classic fallacy, sebagai contoh Philip Spencer memberikan 10 langkah pembuktian falasi 1=2 berkaitan dengan notasi bilangan imajiner ini :










Dilihat dari sejarah penemuan dan pengembangan bilangan imajiner, dan juga dari permasalahan logika di atas, notasi bilangan imajiner memegang peranan penting sebagai peralatan matematis dalam persoalan persamaan polinomial. Hal ini sebagaimana dikukuhkan oleh Gauss melalui teorema fundamental aljabar. Tetapi seperti yang dicatat Euler dan diperlihatkan oleh deMorgan, ia belum terlihat sebagai objek matematika dengan status ontologis yang jelas.

Bibliografi

Bacaan online  :