Artikel Bilangan Imajiner Versi Latex dan PDF

Dikarenakan banyaknya tanggapan dan respon yang baik dari rekan-rekan pembaca terhadap artikel saya berjudul “Bilangan Imajiner : Sejarah dan Filosofinya“, juga ada permintaan untuk menjadikan artikel saya tersebut sebagai referensi tugas akademik dan versi print-nya. Oleh karena itu saya buat artikel tersebut dalam versi dokumen Latex dan PDF.

Dalam edisi revisi pertama ini ada beberapa penambahan dan perubahan kecil, diantaranya:

  1. Penambahan author (dan email) serta afiliasi
  2. Penambahan abstract
  3. Membetulkan salah ketik tanda “+“, menjadi “-” pada persamaan :
    x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}
    sehingga menjadi
    x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}
  4. Menambahkan beberapa buku bacaan yang menambah wawasan saya dalam sejarah matematika. Saya juga menambahkan link referensi online dari Philip Spencer.

Jika pembaca masih menemukan ada kesalahan penulisan silahkan hubungi saya melalui email yang tertera di artikel.

Sekali lagi saya ucapkan terima kasih atas tanggapan dan komentar dari sahabat sekalian. Tak lupa saya ucapkan terima kasih kepada Tim OwlGalunggung yang mengizinkan file-file di atas disimpan di website OwlGalunggung sehingga bisa dijadikan acuan oleh yang lain. Juga terima kasih kepada istri saya, Rida, yang telah memberikan dukungan dan semangat bagi saya untuk menulis.

Prime in Golden Tree

Shiver in ecstasy, Clifford A. Pickover in his twitter account showed a new kind, amazing prime number :

Pickover's Prime

Which is the prime number of the form 10^{2k} - 10^{k} - 1, where k=253. It will be nice to call “Prime in Golden Tree”, because if such a quadratic form equals 0 then the real solution will explain “original root” that follows golden ratio. As I wrote earlier in this blog, decimal expansion of the form \displaystyle \frac{1}{10^{2k}-10^{k}-1} follows Fibonacci Sequence.

This is amazing prime number. This will invite us to know this kind of prime number better, and the associated quadratic “tree” formula. And in a broader sense, it will invite us on a deeper curiosity about the golden ratio and our universe.

And yes, Shiver in ecstasy.

Golden Ratio

Persamaan kuadrat x^2-x-1=0 atau \displaystyle 1+\frac{1}{x}=x apabila diselesaikan solusi untuk nilai x adalah :

\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887498948482...

dan

\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.6180339887498948482...

Solusi x yang pertama tidak lain merupakan Golden Ratio (\phi).

Sekarang bila x disubstitusi dengan 10^k, maka bentuk persamaannya menjadi : 10^{2k}-10^k-1=0 (atau bisa ditulis 10^{n}-10^k-1=0, dengan n=2k). Penyelesaian persamaan ini menghasilkan solusi riil :

\displaystyle k=\frac{\ln(\phi)}{\ln(10)}=\frac{\ln(1+\sqrt{5})-\ln(2)}{\ln(5)+\ln(2)}=0.20898764...

dengan \ln adalah natural logarithm. Bila k=24, dan karena \frac{24}{0.20898764}\approx 115, maka itulah sebabnya kenapa \displaystyle \frac{1}{10^{n}-10^k-1} dengan n=2k, k=24, menghasilkan pola bilangan Fibonacci dengan ketepatan hingga bilangan Fibonacci ke-115 :

F_{115}=483162952612010163284885.


Sumber : futilitycloset.com

Lebih umum lagi, bila x pada x^2-x-1=0 disubstitusi dengan u^k, maka solusi riil untuk k adalah:

\displaystyle k=\frac{\ln(\phi)}{\ln (u)}.

Bila u = e (konstanta Euler), maka k = \ln(\phi)=0.48121182...