Month: January 2012

Bahas Soal Analisis : Perhitungan Integral melalui teorema Cauchy dan teorema Residu

Pertanyaan : Jika 0 < n < 1 hitunglah \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = ...?

Penyelesaian :

Integral di atas dapat dinyatakan pada kurva lintasan tertutup C seperti pada gambar di samping. Sesuai dengan teorema Cauchy Integral pada C dapat ditulis menjadi

\displaystyle \oint_{C} \frac{z^{n-1}}{1+z}dz

dimana z=0 merupakan titik cabang.  PQ dan UV berimpit dengan sumbu x dengan arah yang berlawanan. Fungsi yang diintegralkan mempunyai kutub z=-1 yang terletak di dalam C.

Residu di z=-1=e^{\pi i} adalah :

\displaystyle \lim_{z \to -1}(z+1)\frac{z^{n-1}}{1+z}=\left ( e^{i\pi} \right )^{n-1}=e^{(n-1)i\pi}

maka

\displaystyle \oint_{C}\frac{z^{n-1}}{1+z} dz = 2\pi ie^{(n-1)i\pi}

atau,

\displaystyle \int_{PQ}+\int_{QRSTU}+\int_{UV}+\int_{VWP}=2\pi ie^{(n-1)i\pi}.

Sehingga kita mempunyai :

\displaystyle \int_{r}^{\rho}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx + \int_{0}^{2\pi}\frac{(\rho e^{i\theta})^{n-1}i\rho e^{i\theta}}{1+\rho e^{i\theta}}d\theta + \int_{\rho}^{r}\frac{(xe^{2\pi i})^{n-1}}{1+xe^{2\pi i}}dx + \int_{2\pi}^{0}\frac{(re^{i\theta})^{n-1}ire^{i\theta}}{1+re^{i\theta}}d\theta

\displaystyle = 2\pi ie^{(n-1)i\pi}

dimana untuk integral sepanjang UV telah digunakan z = xe^{2\pi i}. Untuk r \to 0 dan \rho \to \infty, integral kedua dan keempatnya mendekati nol, sehingga diperoleh :

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx + \int_{\infty}^{0}\frac{e^{2\pi i(n-1)}x^{n-1}}{1+x}dx = 2\pi ie^{\pi i(n-1)}

atau

\displaystyle \left ( 1-e^{2\pi i(n-1)} \right )\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = 2\pi ie^{\pi i(n-1)}

Sehingga,

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx = \frac{2\pi ie^{\pi i(n-1)}}{\left ( 1-e^{2\pi i(n-1)} \right )} = \frac{2\pi i}{e^{n\pi i}-e^{-n\pi i}} = \frac{\pi}{\sin n\pi}.