Ukuran dan Kriteria Keirasionalan

Analysis, Mathematics, Number Theory 2 Minutes

Definisi. Ukuran Keirasionalan suatu bilangan a mengukur seberapa irasional bilangan tersebut, atau mengukur seberapa baik bilangan tersebut diaproksimasi oleh bilangan rasional. Ia juga disebut konstanta Liouville-Roth atau pangkat keirasionalan dari a, atau ditulis \mu (a), dan merupakan supremum dari bilangan rill \mu sehingga :

\displaystyle 0<\left | a-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{q^\mu}

terpenuhi, melalui pasangan bilangan bulat coprime (p,q) yang tak hingga banyaknya.

Kriteria Keirasionalan. Untuk z,\varepsilon > 0 dan bernilai tetap, dan p,q relatif prima, jika terdapat pasangan coprime (p,q) yang tak terhingga banyaknya pada bentuk :

\displaystyle\left | a-\frac{p}{q} \right |<\frac{z}{q^{1+\varepsilon}},

maka a irasional.

Bukti :

Jika a rasional akan dibuktikan bahwa hanya terdapat pasangan coprime (p,q) yang berhingga banyaknya yang memenuhi pertidaksamaan di atas. Untuk a=\frac{x}{y} dimana x dan y relatif prima dan y>0, maka untuk \frac{p}{q}\neq a diperoleh pertidaksamaan berikut :

\begin{array}{lcl}\displaystyle\frac{z}{q^{1+\varepsilon }}&>&\displaystyle\left | a-\frac{p}{q} \right |\\&=& \displaystyle\left | \frac{x}{y}-\frac{p}{q} \right |\\&=&\displaystyle\left | \frac{xq-yp}{yq} \right |\\&\geq&\displaystyle\frac{1}{yq}\end{array}

Maka q<(zy)^{\frac{1}{\varepsilon}}. Jadi hanya ada sejumlah kemungkinan nilai bagi q yang jumlahnya berhingga. Dan untuk banyaknya kemungkinan nilai p harus diperiksa juga. Misalnya untuk pecahan dalam bentuk \frac{p+r}{q}, dengan r variabel bilangan bulat, dan pecahan demikian memenuhi kriteria kerasionalan yang dihipotesiskan maka melalui pertidaksamaan segitiga berikut :

\displaystyle\frac{|r|}{q}=\left | \frac{r}{q}+\frac{p}{q}-\frac{x}{y}-\frac{p}{q}+\frac{x}{y}\right |\leq \left | \frac{p+r}{q}-\frac{x}{y}\right |+\left | \frac{p}{q}-\frac{x}{y} \right |<\frac{2z}{q^{1+\varepsilon}}

diperoleh |r|<2zq^{-\varepsilon}\leq 2z, sehingga paling baik r dibatasi oleh -2[z]+1\leq r\leq 2[z]-1. Maka untuk sembarang nilai q yang berhingga jumlahnya terdapat paling banyak 4[z]-1 nilai p yang memenuhi hipotesis tadi. Jadi hanya ada sejumlah pasangan coprime (p,q) yang berhingga jumlahnya jika a rasional.

Published by hilmanpalisabana

Founder of Hyang Language Foundation and also a Math Nerd.

Published

2 thoughts on “Ukuran dan Kriteria Keirasionalan”

  1. Pingback: Pendekatan Rasional terhadap ln (phi) | matematika-ku
  2. Pingback: Kriteria Keirasionalan dalam Notasi O Besar « matematika-ku

Leave a comment